Produkte orientierbarer Mannigfaltigkeiten

04.05.2021, 14:36	Mathescout	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkte orientierbarer Mannigfaltigkeiten Meine Frage: i) Es seien M eine k_1-dimensionale C^m-Untermannigfaltigkeit von R^m und N eine k_2-dimensionale C^m-Untermannigfaltigkeit von R^n. Hierfür gilt, dass M × N eine k_1 + k_2-dimensionale C^m-Untermannigfaltigkeit von R^{m+n} ist (nicht zu zeigen). Zeigen Sie: Sind M und N orientierbar, so auch M × N. ii) Zeigen Sie, dass der ZylinderZ := {x \in R^3: x_2^2 +x_3^2= 1} eine orientierbare Hyperfläche in R^3 ist. Meine Ideen: Dass Produkte von Mannigfaltigkeiten wieder Mannigfaltigkeiten sind weiß ich bereits aus einem entsprechenden Satz, also ist hier nur z.z. dass dieses Produkt auch wieder orientierbar ist. Man könnte ja jetzt in der Form herangehen, dass man erstmal zwei orientierte Atlanten (F_i) für i in I und (G_j) für j in J betrachtet, und aus diesen einen Atlas für M × N entwickelt, wobei man bei diesem dann noch die Orientierbarkeit nachweisen muss. Hierbei komme ich nun aber leider nicht wirklich über den Ansatz hinaus und wäre über Hilfe sehr dankbar Beim Teil ii) könnte man das ganze ja dann umgekehrt versuchen, indem man Z als Produkt von Mannigfaltigkeiten betrachtet und somit nachweist, dass wieder eine solche (genauer: eine Hyperfläche) vorliegt?!
08.05.2021, 08:35	Mathescout	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir niemand helfen? Wäre immer noch an einer Antwort, bzw. Hilfe interessiert.
08.05.2021, 08:47	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt hier offenbar nicht so viele, die sich gut in Differentialgeometrie auskennen. Meine rudimentären Kenntnisse reichen jedenfalls nicht aus, die Frage zu beantworten. Du könntest die Frage mal hier https://math.stackexchange.com/ stellen. Dann solltest du das hier im Matheboard mitteilen. So können Interessierte aus dem Matheboard dortige Antworten verfolgen.

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