Drehungen um Ursprung

05.05.2021, 14:31	77ulrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehungen um Ursprung Meine Frage: Jede Drehung um den Ursprung in R^3 besitzt über den reellen Zahlen Eigenvektoren. Meine Ideen: Ich habe zu der Behauptung die Antwort, dass es wahr ist, weil weil sie die Vektoren ungleich 0 besitzt, die diese Drehachse bilden. Ist der ansatz richtig?
05.05.2021, 16:37	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehungen um Ursprung Ja. Wenn $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ die Drehmatrix ist und $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ ein Vektor der Drehachse, dann gilt $\begin{eqnarray} M \cdot \vec v = \vec v \end{eqnarray}$
07.05.2021, 17:52	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich zeige mal, dass $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ stets Eigenwert ist und wie man den zugehörigen Eigen Vektor (die sog. "Drehachse") unmittelbar aus der Drehmatrix ablesen kann. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Satz 1: Alle Drehungen in Räumen mit ungeradzahliger Dimension haben den Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ . Beweis 1: Laut Definition gilt für Drehungen $\begin{eqnarray} E=DD^T \end{eqnarray}$ . Daraus folgt nach den Rechenregeln mit Determinanten $\begin{eqnarray} \det(D-E)=\det(D-\underbrace{DD^T)}_{E}=\det(D(E-D^T))=\underbrace{\det(D)}_{1}\cdot \det(E-D^T)=\det((E-D)^T)=\det(E-D)=-\det(D-E) \end{eqnarray}$ Der letzte Gleichheitszeichen gilt laut Rechenregeln für Determinanten nur für Drehungen in Räumen mit ungeradzahliger Dimension 3, 5, 7, ...! Insgesamt haben wir in diesem Falle also die Identität $\begin{eqnarray} \det(D-E)=-\det(D-E) \end{eqnarray}$ Wenn eine Zahl mit ihrem negativen Wert identisch ist, muss sie verschwinden, also $\begin{eqnarray} \det(D-E)=0 \end{eqnarray}$ Das ist gerade aber das charkteristische Polynom $\begin{eqnarray} \det(D-\lambda\cdot E)=0 \end{eqnarray}$ für den Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ w.z.b.w. --------------------------------------------------------------------------------- Satz 2: Der (als Drehachse bezeichnete) Eigenvektor $\begin{eqnarray} \vec d \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda =1 \end{eqnarray}$ lässt sich bei einer dreidimensionalen Drehmatrix $\begin{eqnarray} D_{ij} \end{eqnarray}$ unmittelbar aus den Nichtdiagonalelementen ablesen gemäß $\begin{eqnarray} \vec d=\begin{pmatrix} D_{32}-D_{23} \\ D_{13}-D_{31} \\ D_{21}-D_{12} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beweis 2: Gemäß Satz 1 existiert eine Eigenwertgleichung mit dem Eigenwert 1, also $\begin{eqnarray} \vec d=D\vec d \end{eqnarray}$ Wendet man darauf die transponierte Drehung $\begin{eqnarray} D^T \end{eqnarray}$ an, ergibt sich wegen $\begin{eqnarray} D^TD=E \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec d=D^T\vec d \end{eqnarray}$ Subtraktion beider Gleichungen liefert $\begin{eqnarray} \vec 0=(D-D^T)\vec d=\begin{pmatrix} 0 & D_{12}-D_{21} & D_{13}-D_{31} \\ D_{21}-D_{12} & 0 & D_{23}-D_{32} \\ D_{31}-D_{13} & D_{23}-D_{32} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix} =\underbrace{\begin{pmatrix} D_{32}-D_{23} \\ D_{13}-D_{31} \\ D_{21}-D_{12} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix}}_{\text{Vektorprodukt}} \end{eqnarray}$ Da jedes Vektorprodukt verschwindet, wenn beide Faktoren parallel sind, ist der Satz bewiesen.

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