Beweis, dass eine Menge unendlich bleibt, wenn man ihr ein Element wegnimmt |
| 08.05.2021, 13:28 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis, dass eine Menge unendlich bleibt, wenn man ihr ein Element wegnimmt Satz: Sei A eine unendliche Menge. Sei a A. Dann ist auch A - {a} unendlich. Beweis: Sei A - {a} endlich. Dann wäre es eine endlich abzählbare Menge, d.h. A - {a} = {x1, x2, ..., xn}. Jetzt fügen wir a wieder hinzu, also (A - {a}) {a} = {x1, x2, ..., xn, a} und diese Menge bliebe endlich. Aber ((A - {a}) {a}) = A und damit unendlich nach Voraussetzung, also Widerspruch, so dass die Aussgangsannahme sich negiert und damit A - {a} unendlich ist. Geht dieser Beweis der Idee nach in Ordnung? Ist dieser Beweis der voraussetzungsloseste, den es gibt o. gibt's noch einfachere? |
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| 09.05.2021, 08:34 | G090521 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Beweis, dass eine Menge unendlich bleibt, wenn man ihr ein Element wegnimmt unendlich ist ein unbestimmter Begriff, mit dem man nicht operieren/"rechnen" kann? Was soll z.B. unendlich minus 1 bedeuten? Oder unendlich plus 1? Ob die natürlichen Zahlen 1 oder 1 Milliarde Elemente weniger haben, ändert nichts an deren Unendlichkeit. Was willst du da großartig beweisen? Die Antwort ergibt sich doch aus dem Begriff der Unendlichkeit: unendliche Mengen sind eben unendlich. Wenn ich alle rationalen Zahlen aus der Menge der reellen Zahlen entfernen würde, bleibt die Menge R immer noch unendlich. Sie hat nur weniger Elemente. 
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| 09.05.2021, 13:52 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis, dass eine Menge unendlich bleibt, wenn man ihr ein Element wegnimmt
Man kann eine unendliche Menge scharf definieren, zB über ihre Abzählbarkeit. Man sagt einfach: eine endliche Menge hat n Elemente (mit n ), sonst ist sie unendlich. Oder man nimmt Dedekind‘s Definition, wonach die Bijektion auf eine ihrer echten Teilmengen eine Menge unendlich macht. |
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| 09.05.2021, 15:37 | G090521 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Beweis, dass eine Menge unendlich bleibt, wenn man ihr ein Element wegnimmt Definieren kann man alles Mögliche, nur rechnen kann man damit noch lange nicht. Man kann ein schwarzes Loch definieren, aber keine Berechnungen darüber anstellen. Was soll es bedeuten, wenn man aus N eine Zahl rausnimmt? Dann fehlt diese Zahl, aber N bleibt weiter unendlich. Was soll eine um ein Element verminderte unendliche Menge sein? Sie ist weiterhin unendlich. |
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| 09.05.2021, 16:03 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis, dass eine Menge unendlich bleibt, wenn man ihr ein Element wegnimmt
Es geht hier auch nicht darum irgendwie mit unendlich zu rechnen, sondern um eine Aussage über die Anzahl der Elemente einer Menge - und dafür lassen sich die notwendigen Begriffe durchaus strikt definieren und damit argumentieren und letztendlich die Aussage beweisen.
Bevor man sich da irgendwie an einer Antwort versuchen kann: was für Voraussetzungen siehst du denn als gegeben kann? Was für Begriffe hast du eingeführt, wie definierst du die Mächtigkeit einer Menge, wann sind zwei Mengen gleichmächtig? Die Idee mag vielleicht passen, wobei man da formal noch einiges ergänzen könnte/sollte, und das greift dann eben auf die von mir angesprochenen Voraussetzungen zurück. |
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| 09.05.2021, 18:10 | G090521 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis, dass eine Menge unendlich bleibt, wenn man ihr ein Element wegnimmt
Es geht doch darum, was passiert, wenn man Elemente aus unendlichen Mengen wegnimmt. Was soll man sich darunter vorstellen, wen man von unendlichen vielen Elemente welche wegnimmt? Welche Auswirkung hat das auf die Unendlichkeit der Menge? Sie bleibt per definitionem unendlich, oder? |
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| 09.05.2021, 21:53 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das kommt auf die Definition an, und da machst du es dir viel zu einfach, wenn du unklare Vorstellungen aus der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts benutzt. |
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| 10.05.2021, 06:15 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis, dass eine Menge unendlich bleibt, wenn man ihr ein Element wegnimmt
Astrophysiker berechnen ihr ganzes Leben lang die Objekte, die sie beobachten oder sich ausdenken. Experten wie Andreas Müller berechnen z.B. schwarze Löcher und Gravitationswellen und halten hervorragende Vorträge darüber. Siehe "Urknall, Weltall und das Leben" auf Youtube. |
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| 10.05.2021, 07:03 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube nicht, dass in Hilberts Hotel Platzmangel ausbricht wenn ein Zimmer renoviert werden muss 
saubere Begriffe sind grundsätzlich überall wichtig. Und bei black hole information paradoxon gehts schon los. Gemeint ist eher die Unmöglichkeit der quantenmechanisch prinzipiellen Möglichkeit der zeitlichen Umkehrung eines Zustandes zu erzielen. Mit Information hat das gar nichts zu tun. Und täglich neue Meldungen über Lösungen betreffen nur das Mathematische und können dabei sicherlich fehlerfrei sein. Physik ist aber nicht Mathematik. Das spitze Ende eines fallenden Tropfens ist eine Singularität, physikalisch aber nicht. schön ist auch : |
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| 10.05.2021, 19:28 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Prinzip folgt das aus der Dedekind-Unendlichkeitseigenschaft: "jede unendliche Menge enthält eine echte Teilmenge derselben Mächtigkeit" A\{a} ist eine echte Teilmenge mit dieser Eigenschaft https://de.wikipedia.org/wiki/Unendliche...d-Unendlichkeit |
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| 10.05.2021, 21:38 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kannst du beweisen, was deiner Meinung nach "im Prinzip folgt"? Dein Beweis würde mich sehr interessieren. Warum ist A\{a} eine Teilmenge mit dieser Eigenschaft? |
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| 10.05.2021, 23:22 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, dafür muss man zeigen, dass eine unendliche Menge Dedekind-unendlich ist, also eine Bijektion auf die Teilmenge ohne das Element a existiert. Dafür braucht man im allgemeinen Fall das Auswahlaxiom, mit dem man sich eine "Rutsche" für Elemente beginnend mit a konstruiert. Beweisskizze: Man kann jetzt eine unendliche Menge verschiedener Elemente nach dem Auswahlaxiom auswählen: Diese Elemente existieren, da A unendlich. Die Bijektion ist jetzt: |
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| 11.05.2021, 07:40 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gibt es mit endlich, dann ist auch endlich. Hierfür braucht man Choice/Dedekind-Unendlichkeit nicht. |
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| 11.05.2021, 08:42 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auswahlaxiom scheint mir etwas übertrieben zu sein, es geht bestimmt mit weniger Voraussetzungen, was Pippen freuen könnte. |
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| 11.05.2021, 09:01 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau. Edit: Nur über ZF ist Unendlichkeit (=keine endliche Kardinalität) i.a. strikt allgemeiner als Dedekind-Unendlichkeit, siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_set#Necessary_and_sufficient_conditions_for_finiteness |
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