Wahrscheinlichkeitsdichte zur Zufallsvariablen herausfinden

08.05.2021, 14:34

KonverDiv

Wahrscheinlichkeitsdichte zur Zufallsvariablen herausfinden

Hallo,

ich habe eine Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gegeben

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}<br /> \frac{x^2}{81}, \quad -3 < x < 6 \\<br /> 0, \quad else<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

und möchte nun die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Y = \frac{1}{3}(12-X) \end{eqnarray*}$ herausfinden.

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} F(y) = P(Y\leq y) = P(\frac{1}{3}(12-X) \leq y) = P(X \geq 12-3y) = 1 - P(X \leq 12-3y) \end{eqnarray*}$

Mit der allgemeinen Definition $\begin{eqnarray*} F(x) = P(X\leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(u) \,du \end{eqnarray*}$ folgt dann für $\begin{eqnarray*} P(X \leq 12-3y) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} F(12-3y) = P(X \leq 12-3y) = \int_{-3}^{12-3y} f(u) \, du = \int_{-3}^{12-3y} \frac{u^2}{81} \, du \end{eqnarray*}$

Ich würde das jetzt weiter integrieren, die Grenzen einsetzen und am Ende differenzieren, um dann auf die Wahrscheinlichkeitsdichte für Y zu kommen (etwas umständlich aber sollte funktionieren...)... Meine Frage bezieht sich darauf, ob die Integralgrenzen (-3, 12-3y) richtig sind. Mich würde es freuen, wenn Ihr mich berichtigen könntet smile

08.05.2021, 16:03

HAL 9000

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Wenn du wirklich nur die Dichte $\begin{eqnarray*} f_Y \end{eqnarray*}$ benötigst, könntest du dir die Sache etwas erleichtern: Über den von dir schon ermittelten Zusammenhang $\begin{eqnarray*} F_Y(y) = 1-F_X(12-3y) \end{eqnarray*}$ bekommst du per Ableitung für die Dichte (fast überall)

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \frac{\dd}{\dd y} \left( 1-F_X(12-3y) \right) = -F_X'(12-3y)\cdot (-3) = 3f_X(12-3y) = \begin{cases} \frac{1}{27}(12-3y)^2 &\mbox{für}\;-3<12-3y<6\\ 0&\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Die Fallbedingung sollte man am besten noch nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ umstellen, so dass sich die leichter verdauliche Darstellung

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{3}(4-y)^2 &\mbox{für}\;2<y<5\\ 0&\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

ergibt.

08.05.2021, 16:47

KonverDiv

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Hallo HAL, Freude

danke für deine Antwort, der Schritt von $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd y} \left( 1-F_X(12-3y) \right) = -F_X'(12-3y)\cdot (-3) \end{eqnarray*}$ ging mit etwas zu schnell, ist das einfach die Anwendung der Kettenregel, oder steckt da noch mehr dahinter?

Dann nochmal die Rückfrage, sind die Integralgrenzen denn richtig eingesetzt? Also passen (-3, 12-3y) als Grenzen? Bei den Grenzen habe ich mich einfach an die Definition gehalten, deren obere Grenze x ist, hier in diesem Fall dann 12-3y. Für die untere Grenze bin ich mir aber nicht sicher, ob -3 richtig ist?!

08.05.2021, 16:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von KonverDiv
ist das einfach die Anwendung der Kettenregel

Ja.

Zitat:

Original von KonverDiv
Also passen (-3, 12-3y) als Grenzen?

Nur in dem Fall $\begin{eqnarray*} -3 < 12-3y < 6 \end{eqnarray*}$ , denn nur dort passt ja auch der Integrandenterm zur Dichte!

08.05.2021, 16:57

KonverDiv

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Hallo HAL,

vielen Dank für die schnelle Antwort! Jetzt wo du $\begin{eqnarray*} -3 < 12-3y < 6 \end{eqnarray*}$ nochmal direkt hingeschrieben hast, erkenne ich die Grenzen nun smile

Du sprachst von "Nur in dem Fall", also allgemein ermittel ich dann die Grenzen aber auch immer über den Ansatz $\begin{eqnarray*} a < x < b \end{eqnarray*}$ , wobei die Grenzen dann unten $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und oben $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (irgendein Term wie z.B. im Beispiel) sind, richtig?

08.05.2021, 17:23

HAL 9000

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"Allgemein" gilt schlicht

$\begin{eqnarray*} F_X(12-3y) = \int\limits_{-\infty}^{12-3y} f_X(u) ~ \dd u \end{eqnarray*}$ ,

wobei dann eben $\begin{eqnarray*} f_X(u)=0 \end{eqnarray*}$ sowohl für $\begin{eqnarray*} u<-3 \end{eqnarray*}$ als auch für $\begin{eqnarray*} u>6 \end{eqnarray*}$ zu berücksichtigen ist. Ich halte jetzt nicht viel davon, endlos nach allgemeinen Rezepten zu fragen, wie damit umzugehen ist - das muss man sich bei solchen fallweise definierten Dichten dann eben jeweils konkret überlegen.

08.05.2021, 19:39

Finn_

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Die allgemeine Ausführung der Überlegung ist recht ertragreich. Ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ streng monoton und $\begin{eqnarray*} Y=g(X) \end{eqnarray*}$ , dann bekommt man

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \frac{f_X(g^{-1}(y))}{|g'(g^{-1}(y))|}. \end{eqnarray*}$

Das macht

$\begin{eqnarray*} E(g(X)) = E(Y) = \int_{-\infty}^\infty yf_Y(y)\,\mathrm dy = \int_{-\infty}^\infty y\frac{f_X(g^{-1}(y))}{|g'(g^{-1}(y))|}\,\mathrm dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{g^{-1}(-\infty)}^{g^{-1}(\infty)} g(x) \frac{f_X(x)}{|g'(x)|}g'(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty g(x)f_X(x)\,\mathrm dx \end{eqnarray*}$

mit Substitution $\begin{eqnarray*} y=g(x) \end{eqnarray*}$ .

Wir haben damit das LOTUS (law of the unconscious statistician) gefunden, wie es zuweilen genannt wird.

08.05.2021, 20:00

HAL 9000

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@Finn_

Ist ja schön und gut, dass du den Erwartungswert diskutierst - aber irgendwie ging es um den hier doch überhaupt nicht... Augenzwinkern

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