Potenzreihe für Tangens

09.05.2021, 09:55

genießer

Potenzreihe für Tangens

Hallo

Ich muss mit einem Potenzreihenansatz $\begin{eqnarray*} y=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k \end{eqnarray*}$ zeigen, dass man den Tangens durch $\begin{eqnarray*} tan(x)=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+r(x) \end{eqnarray*}$ darstellen kann, wobei r(x) für die Restterme höherer Ordnung stehen.

Zudem ist verraten, dass der Tangens die DGL $\begin{eqnarray*} y'=1+y^2 \end{eqnarray*}$ mit y(0)=0 im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ löst und diesen Zusammenhang soll man auch nutzen.

Meine Idee ist es, dass ich die allgemeine Potenzreihe in die DGL einsetze.
Für die 1. Ableitung komme ich auf $\begin{eqnarray*} y'=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \cdot kx^{k-1} \end{eqnarray*}$ aber was fange ich denn mit $\begin{eqnarray*} y^2=(\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k)^2 \end{eqnarray*}$ an ? verwirrt

Oder brauche ich das hier gar nicht allgemein aufziehen und es reicht, wenn man sich die Glieder bis k=3 aufschreibt, weil man die Tangens-Reihe eh nur bis zur 5. Potenz angeben muss ?

09.05.2021, 11:23

Huggy

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RE: Potenzreihe für Tangens

Zitat:

Original von genießer
Oder brauche ich das hier gar nicht allgemein aufziehen und es reicht, wenn man sich die Glieder bis k=3 aufschreibt, weil man die Tangens-Reihe eh nur bis zur 5. Potenz angeben muss ?

So würde ich das interpretieren. Allerdings muss man die Reihe schon bis $\begin{eqnarray*} k=5 \end{eqnarray*}$ betrachten und wenn man $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ verwendet immer noch bis $\begin{eqnarray*} k=4 \end{eqnarray*}$ . Man darf ja nicht im voraus annehmen, dass alle Koeffizienten mit geradem Index Null werden.

09.05.2021, 12:14

genießer

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Alles klar, danke.

Habe gerade auch gemerkt, dass man selbstverständlich bis k=5 gehen muss.

Auffällig war dann der sich beim Koeffizientenvergleich ergebende rekursive Zusammenhang $\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot a_{n+1}=\sum_{k=0}^na_ka_{n-k} \end{eqnarray*}$

09.05.2021, 12:56

Huggy

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Gut erkannt! Freude

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