Wurzel aus Wurzel

10.05.2021, 20:16

Xanthin78

Wurzel aus Wurzel

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich bereite mich mit eine Buch vor auf das Informatikstudium im Oktober vor.
Ich habe zur das Thema Quadratische Gleichungen mit folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x^2+(3-\sqrt3)x-\sqrt{27}=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Achtung Test weil die Vorschau meine Latex Formel nicht zeigt,

wenn alles klappt schreibe ich weiter

10.05.2021, 20:23

Leopold

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Wenn du begründen kannst, warum $\begin{align*} \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} \end{align*}$ ist, und den Satz von Vieta zu Rate ziehst, kannst du die Lösungen ablesen. Alternativ kannst du auch eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen verwenden.

10.05.2021, 21:18

Xanthin78

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Hallo nochmal und hallo Leopold entschuldige das ich noch nicht fertig war,

Es gab ein Zeitlimit daher hier der neue Versuch

ich bereite mich mit einem Buch, auf das Informatikstudium im Oktober vor.
Ich habe zur Zeit das Thema Quadratische Gleichungen mit folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x^2+(3-\sqrt3)x-\sqrt{27}=0 \end{eqnarray*}$

Ich soll x1 und x2 ausrechnen. Die Endlösung ist im Buch angegeben,
der Weg dahin nicht. Bisher habe ich es immer hinbekommen den Weg zu finden

Hier aber hoffe ich auf "Anstöße / Stichworte" damit ich weiter komme

Das Ziel was ich anstrebe ist folgender Ausdruck

$\begin{eqnarray*} - \frac{3-\sqrt3}{2} \pm \frac{3+\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$

Für die Lösungen $\begin{eqnarray*} x_1= \sqrt3 ~~ \text{und}~~~ x_2= -3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Hier die ausgefüllte PQ-Formel:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = - \frac{3-\sqrt3}{2} \pm \sqrt{\frac{(3-\sqrt3 )^2}{4}+\sqrt{27}} \end{eqnarray*}$

Nach einigen Anläufen habe ich den hinteren Teil der PQ-Formel in den Taschenrechner eingegeben:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{(3-\sqrt3 )^2}{4}+\sqrt{27}} \end{eqnarray*}$ mit dem Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{3+\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich versucht den ersten Ausdruck unter der Klammer umzuformen

Binomische Formel , zusammenfassen, ausklammern, kürzen, ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} \frac{(3-\sqrt3)^2}{4}=\frac{9-2\cdot 3 \sqrt3+3}{4}= \frac{12-6\sqrt3}{4} = \frac{6(2-\sqrt3)}{4}= \frac{3(2-\sqrt3)}{2} =\frac{6-3\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$

Den hinteren Teil hast du Leopold bereits geschrieben

$\begin{eqnarray*} \sqrt{27}=\sqrt{3 \cdot 9} = \sqrt3 \cdot \sqrt9 = \sqrt3 \cdot 3 = 3\sqrt3 \end{eqnarray*}$

Jetzt die beiden Ausdrücke addieren
$\begin{eqnarray*} \frac{6-3\sqrt3}{2}+\frac{3\sqrt3}{1} \end{eqnarray*}$

2ten Bruch erweitern für gleichen Nenner und Brüche addieren

$\begin{eqnarray*} \frac{6-3\sqrt3}{2}+\frac{3\sqrt3 \cdot 2}{1 \cdot 2}= \frac{6-3\sqrt3}{2}+\frac{6\sqrt3}{2} = \frac{6+3\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$

Dieser Ausdruck ist ja noch unter der großen Klammer

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{6+3\sqrt3}{2}} \end{eqnarray*}$

Wenn bis hier alles gut ist bin ich schon mal zufrieden

Aber wo ich jetzt Anstöße bräuchte wäre

Warum ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{6+3\sqrt3}{2}}= \frac{3+\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$

Liebe Grüße Xanthin78

10.05.2021, 22:10

Leopold

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Du hast alles richtig gemacht.

Zitat:

Original von Xanthin78
Warum ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{6+3\sqrt3}{2}}= \frac{3+\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{align*} \sqrt{D} = a \end{align*}$ ist gleichbedeutend mit $\begin{align*} a^2 = D \end{align*}$ . Und eine solche Aufgabe hast du mit minus statt plus ja schon einmal gelöst.

Die Lösung mit der Lösungsformel ist hier etwas umständlich. Vielleicht probierst du doch noch, die Sache mit dem Satz von Vieta anzupacken. Alternativ kannst du auch durch Probieren eine Linearfaktorzerlegung des Polynoms finden.

11.05.2021, 10:18

Xanthin78

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Hallo Leopold,

danke für Deine Antwort

In dem Buch "Brückenkurs Mathematik" kommt der Satz von Vieta nicht vor, ich muss gestehen das ich von diesen Satz noch nicht gehört habe.

Die Linearfaktorzerlegung kommt im Buch auf den folgenden Seiten vor.
Also muss es etwas sein was ich schon im Buch hatte

Da hat mir letzlich deine Aussage geholfen das ich was ähnliches mit Minus schon gelöst habe

Da geht es um diese Umformung von mir

Zitat:

Original von Xanthin78

Binomische Formel , zusammenfassen, ausklammern, kürzen, ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} \frac{(3-\sqrt3)^2}{4}=\frac{9-2\cdot 3 \sqrt3+3}{4}= \frac{12-6\sqrt3}{4} = \frac{6(2-\sqrt3)}{4}= \frac{3(2-\sqrt3)}{2} =\frac{6-3\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$

Das hat mich dann auf die Idee gebracht dass der letzte Ausdruck hier bis auf das Minuszeichen
gleich ist und der erster Ausdruck mit dem Plus dass ist was ich brauche damit die Klammer dann funktionert

Lange Rede kurzer Sinn die Binomische Formel rückwärts smile

Ob ich das allerdings ohne meine Vorlage oben gesehen hätte, wage ich zu bezweifeln.

$\begin{eqnarray*} \frac{6+3\sqrt3}{2}=\frac{3(2+\sqrt3)}{2}=\frac{3\cdot 2(2+\sqrt3)}{2 \cdot 2}=\frac{6(2+\sqrt3)}{4}=\frac{12+6\sqrt3}{4}=\frac{9+6\sqrt3+3}{4}=\frac{9+2 \cdot 3\sqrt3+3}{4}=\frac{(3+\sqrt3)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Und damit das Finale

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{(3+\sqrt3)^2}{4}}= \frac{3+\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$

Ich bedanke mich bei Dir Leopold, und schätze das war nicht das letzte Mal hier smile

Viele Grüße Xanthin78

11.05.2021, 10:48

Helferlein

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Vorschlag zur Güte: Vor dem addieren von $\begin{eqnarray*} \sqrt{27} \end{eqnarray*}$ nicht zusammenfassen.

$\begin{eqnarray*} \frac{(3-\sqrt3)^2}{4}+\sqrt{27}=\frac{9-2\cdot 3 \sqrt3+3}{4}+3\sqrt 3= \frac{9-2\cdot 3 \sqrt3+3+12 \sqrt 3}{4}=\frac{9+6 \sqrt3+3}{4}=\left(\frac{3+\sqrt 3}2\right)^2 \end{eqnarray*}$

11.05.2021, 11:57

Xanthin78

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Hallo Helferlein,

danke für den Hinweis, ich habe mir schon fast gedacht das meine Weise komplizierter als
notwendig ist.

Viele Grüße Xanthin78

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