Eigenwert Matrix ohne Zahlen bestimmen

11.05.2021, 09:24

Mathman91

Eigenwert Matrix ohne Zahlen bestimmen

Hallo zusammen,

ich hoffe ich bin hier in der richtigen Kategorie mit meiner Frage.

Ich habe wiedermal den Eigenwert einer Matrix berechnet, nur hat diese Matrix keine Zahlen in der Diagonalen, sondern Buchstaben.
Nun weiß ich nicht wie ich die Gleichung lösen kann.

Wenn ich zahlen hätte, dann würde ich einfach eine Nullstelle erraten und durch eine Polynomdivision eine quadratische Gleichung erzeugen, um auf die beiden anderen Eigenwerte zu kommen.

Hier habe ich keine Ahnung was ich machen muss.

Die Matrix lautet:

$\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & b & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit der Regel von Sarrus bin ich auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} a^2*b+a^2*b^2*\lambda^2+a*\lambda^2+b*\lambda^2-\lambda^3-2*a+2*\lambda \end{eqnarray*}$

Wie kann ich jetzt die einzelnen Lambda berechnen.

VG

11.05.2021, 10:07

Iorek

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RE: Eigenwert Matrix ohne Zahlen bestimmen

Zitat:

Original von Mathman91
Wenn ich zahlen hätte, dann würde ich einfach eine Nullstelle erraten und durch eine Polynomdivision eine quadratische Gleichung erzeugen, um auf die beiden anderen Eigenwerte zu kommen.

Das ist hier ja auch der Fall, $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ dürften ja als (reelle?) Zahlen vorausgesetzt sein, also kannst du eine schöne Nullstelle gezielt suchen. (Tipp: wenn es "schöne" Nullstellen gibt, dann muss diese ein Teiler des absoluten Glieds des Polynoms sein).

Alternativ: mit einem guten Auge kann man an der Struktur der Matrix einen Eigenwert (und den zugehörigen Eigenvektor) direkt ablesen, das verschiebt das "raten" aber nur an eine andere Stelle. Um eine Polynomdivision kommst du damit auch nicht rum.

11.05.2021, 10:59

Helferlein

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Ohne Polynomdivision kommst Du aus, wenn Du nicht den beliebten Fehler machst, alles auszumultiplizieren.

Wende die Regel von Sarus einfach mit den in der Matrix gegebenen Faktoren an, dann kannst Du direkt danach einen Faktor ausklammern.

11.05.2021, 11:05

klarsoweit

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RE: Eigenwert Matrix ohne Zahlen bestimmen

Zitat:

Original von Mathman91
Mit der Regel von Sarrus bin ich auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} a^2*b+a^2*b^2*\lambda^2+a*\lambda^2+b*\lambda^2-\lambda^3-2*a+2*\lambda \end{eqnarray*}$

Obendrein ist dieses Ergebnis falsch. (Zumindest kann ich es nicht nachvollziehen.)

11.05.2021, 12:51

Mathman91

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Ich bekomme es nicht hin.

11.05.2021, 13:49

Elvis

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$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda E)=(a-\lambda)^2(b-\lambda)-2(a-\lambda)=(a-\lambda)[(a-\lambda)(b-\lambda)-2] \end{eqnarray*}$ ist doch nicht so schwer.

12.05.2021, 14:26

Mathman91

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Ich bin jetzt auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} (a-\lambda)[(a-\lambda)(b-\lambda)-2]=0 \end{eqnarray*}$

Für: $\begin{eqnarray*} \lambda = a \end{eqnarray*}$ , wird die Gleichung 0.

Nun kann ich auf diese Gleichung die PQ - Formel anwenden:

$\begin{eqnarray*} (a-\lambda)[(a-\lambda)(b-\lambda)-2]=0 \end{eqnarray*}$

Ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \lambda ^2+\lambda *(-a-b)-2=0 \end{eqnarray*}$

Dann komme ich auf folgende Lösung:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{2,3} = \frac{a+b}{2}\pm \sqrt{(\frac{a+b}{2})^2+2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

SG

12.05.2021, 17:56

Elvis

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Ja. Sind das immer drei verschiedene Eigenwerte ? Oder nicht ?

12.05.2021, 18:22

Helferlein

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Mir fehlt bei der ausmultiplizierten Form noch ein Term. Daher ist die Lösung nicht richtig.

12.05.2021, 19:05

Mathman91

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Stimmt das jetzt oder nicht?

12.05.2021, 20:23

Finn_

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Helferlein meint, der Term $\begin{eqnarray*} \color{green}+\,ab \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} \lambda^2-(a+b)\lambda {\color{green}{}+ ab} - 2 = 0 \end{eqnarray*}$

fehlt bei dir.

12.05.2021, 21:16

Mathman91

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Ja, stimmt, das habe ich nicht mitgenommen.

Dann ist Q: a*b-2

Somit: $\begin{eqnarray*} \lambda_{2,3} = \frac{a+b}{2}\pm \sqrt{(\frac{a+b}{2})^2-a*b+2} \end{eqnarray*}$

12.05.2021, 22:49

Helferlein

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Richtig, das lässt sich aber noch vereinfachen.
Danach solltest Du Dir Gedanken über die Frage von Elvis (17:56) machen.

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