Unitäre Matrizen

12.05.2021, 12:16

pitzi

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Unitäre Matrizen

Meine Frage:
Ich soll überprüfen ob die Folgenden Matrizen zur Gruppe der unitären Matrizen gehören:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix} <br /> <br /> \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\\end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 0 & -i & i & 0 \\\end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei der dritten habe ich -1,0,-1,0 raus, also ist sie keine Einheitsmatrix.

Zu meiner Frage, ich dachte unitäre Matrizen kann man erst dann bestimmen, wenn sie komplexartig sind? Ich weiß nun nicht, wie ich bei den anderen Vorgehen soll

12.05.2021, 12:44

Huggy

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RE: Unitäre Matrizen

Zitat:

Original von pitzi
Meine Frage:
Ich soll überprüfen ob die Folgenden Matrizen zur Gruppe der unitären Matrizen gehören:

Welche folgenden? Ich sehe da nur eine folgende Matrix.

Zitat:

Bei der dritten habe ich -1,0,-1,0 raus, also ist sie keine Einheitsmatrix.

Was soll das sein? Das ist ein Vektor, aber keine quadratische Matrix.

Zitat:

Zu meiner Frage, ich dachte unitäre Matrizen kann man erst dann bestimmen, wenn sie komplexartig sind? Ich weiß nun nicht, wie ich bei den anderen Vorgehen soll

Da man die reellen Zahlen als Teilmenge der komplexen Zahlen ansehen kann, kann man auch jede reelle Matrix als komplexe Matrix ansehen.

12.05.2021, 12:51

pitzi

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RE: Unitäre Matrizen
Das sollte alles in Matrixform beschrieben werden, weiß nicht was da schon wieder schiefgelaufen ist.

Ok, weil i die 1 bei den reellen Zahlen entspricht, nehme ich an, dass ich für 1= i einsetze. (?)

12.05.2021, 12:59

Huggy

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RE: Unitäre Matrizen

Zitat:

Original von pitzi
Ok, weil i die 1 bei den reellen Zahlen entspricht, nehme ich an, dass ich für 1= i einsetze. (?)

Nein!!!
$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Beim Bilden der komplex transponierten Matrix bleibt eine $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ . Wie lautet dann deine komplex konjugierte Matrix?

12.05.2021, 13:10

pitzi

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RE: Unitäre Matrizen
Ja, das weiß ich und habe ich verstanden!

U^H*U= Einheitsmatrix, das heißt die Matrix ist unitär.

aus i wird für U^H -i. Das Produkt ergibt die Einheitsmatrix.

12.05.2021, 13:12

Huggy

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RE: Unitäre Matrizen
Nein, die Matrix ist nicht unitär. Rechne noch mal nach.

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12.05.2021, 13:37

pitzi

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RE: Unitäre Matrizen
Dann habe ich das mit den reellwertigen Zahlen nicht verstanden.

12.05.2021, 13:41

Huggy

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RE: Unitäre Matrizen
Schreib doch mal hin, wie deine komplex transponierte Matrix ausschaut, damit wir finden, was dein Fehler ist. Die Matrix kann ja schon deshalb nicht unitär sein, weil ihre Zeilen- und Spaltenvektoren nicht die Länge 1 haben.

12.05.2021, 13:57

pitzi

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RE: Unitäre Matrizen
Ich glaube ich habe den Fehler gefunden, ich hatte beide komplex konjugiert, so kam ich auf folgende Rechnung:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & -i \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nachdem ich nochmal gelesen habe, was du sagtest, bin ich jetzt auf diese Idee gekommen:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & -i \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus dem Produkt resultiert nicht die Einheitsmatrix, habe ich das so richtig verstanden?

12.05.2021, 14:04

Huggy

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RE: Unitäre Matrizen

Zitat:

Original von pitzi
Ich glaube ich habe den Fehler gefunden, ich hatte beide komplex konjugiert, so kam ich auf folgende Rechnung:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & -i \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das sind ja ganz andere Matrizen. Oben stand doch eine 4x4 Matrix. Diese Rechnung könnte richtig sein. Aber dein Text klingt verdächtig. Wie lautet hier die gegebene Matrix?

12.05.2021, 14:10

IfindU

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RE: Unitäre Matrizen

Zitat:

Original von pitzi
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\\end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 0 & -i & i & 0 \\\end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ist ggf. das gemeint?

12.05.2021, 14:11

pitzi

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RE: Unitäre Matrizen
Nee das war ausversehen!

Das sind alles 2 x 2 Matrizen.

Hier nochmal die korrigierten Matrizen aus der Aufgabenstellung mit folgenden Matrizen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& 1\\\end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\\\end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\\\end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und ich hatte anfänglich raus, dass bei allen bis auf die letzte eine Einheitsmatrix resultiert.

12.05.2021, 14:16

Huggy

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RE: Unitäre Matrizen
Worauf soll sich dann das

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & -i \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

beziehen? Das passt zu keiner der 4 2x2-Matrizen!

12.05.2021, 14:20

pitzi

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RE: Unitäre Matrizen
Da hatte ich erst für 1= i eingesetzt.

Und dann nahm ich an, dass die Rechnung falsch ist.

12.05.2021, 14:26

Huggy

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RE: Unitäre Matrizen
So kommen wir nicht weiter. Schreib deine Rechnungen bitte mal in folgender Form hin:

$\begin{eqnarray*} U=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& 1\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U^H= \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U^H \cdot U = \ldots \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ unitär/nicht unitär.

Analog für die anderen gegebenen Matrizen.

12.05.2021, 14:53

pitzi

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RE: Unitäre Matrizen
OK.

U = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

U^H = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Produkt = Keine Einheitsmatrix

12.05.2021, 14:55

pitzi

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RE: Unitäre Matrizen
Verzeihung. Falsch aufgeschrieben, für U^H kommen -i dahin wo die 0 ist... Hammer

Hammer

12.05.2021, 15:05

Huggy

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RE: Unitäre Matrizen
$\begin{eqnarray*} U^H \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig. Um $\begin{eqnarray*} U^H \end{eqnarray*}$ zu bilden, sind 2 Schritte in beliebiger Reihenfolge erforderlich:

(1) Es ist die komplex konjugierte Matrix zu bilden. Dabei geht jeder Matrixeintrag $\begin{eqnarray*} z=x+i y \end{eqnarray*}$ mit reelllem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ über in $\begin{eqnarray*} \bar z=x-i y \end{eqnarray*}$ . Bei einem rein reellen Eintrag $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ (also $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ ) bewirkt dieser Schritt nichts.

(2) Die Matrix ist zu transponieren. Das heißt, sie ist an der Hauptdiagonalen (die Diagonale von links oben nach rechts unten) zu spiegeln. Die Hauptdiagonale selbst bleibt dabei unverändert.

Jetzt mach mal einen neuen Versuch.

12.05.2021, 15:11

pitzi

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RE: Unitäre Matrizen
OK, dann ist U^H=

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.05.2021, 15:13

Huggy

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RE: Unitäre Matrizen
Richtig. Was ergibt jetzt $\begin{eqnarray*} U^H \cdot U \end{eqnarray*}$ ?

12.05.2021, 15:19

pitzi

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RE: Unitäre Matrizen
Die Einheitsmatrix Tanzen

Tanzen

Ich habe es nun verstanden, danke für deine Hilfe und Zeit!

12.05.2021, 15:21

Huggy

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RE: Unitäre Matrizen
Das freut mich.

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