Schönster Satz der Mathematik

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Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »
Schönster Satz der Mathematik
In dem (lesenswerten) Buch von Prof. A. Beutelspacher "In Mathe war ich immer schlecht..." zitiert der Autor eine Umfrage aus den 90ern unter Mathematikern zum "Schönsten Satz der Mathematik":

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Welcher ist für Euch davon der schönste Satz? Oder ein ganz anderer?
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schönster Satz der Mathematik
Frage: Wie definiert man Schönheit? Die liegt bekanntlich im Auge ds Betrachters. WElche Kriterien?
Mathematik ist faszinierend, aber was an ihr "schön" sein soll, weiß ich nicht.
Und ja, Mathe kann ganz schön anstrengend sein, weil man sich sehr konzentrieren muss. Augenzwinkern
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau bei mathematischen Sätzen unter »Schönheit« zu verstehen ist, kann ich für mich nicht erwägen. Am ehesten verstehe ich noch, wenn ein Satz eine tiefere Bedeutung besitzt, oder eine Eleganz im Sinne eines kognitiven Vorteils vermittelt. Andernfalls ist mir die Metrik unklar, wie ich so einen Satz für mich bewerten soll.

Der folgende besitzt für mich eine recht pragmatische Bedeutung und hilft mir bei der Einordnung der Dinge. Einigen mag er vermutlich etwas oberflächlich erscheinen.

Notwendiges Kriterium für eine Extremstelle. Sei eine in der Umgebung der Stelle definierte hinreichend gutartige Funktion. Besitzt ein lokales Extremum bei , dann gilt für jede Richtung .

Hierbei ist



die abstrakte Richtungsableitung von in Richtung bei . Damit kann für die gewöhnliche Ableitung gemeint sein, die gewöhnliche Richtungsableitung in Richtung , oder auch die funktionale Ableitung bzw. Gâteaux-Ableitung bezüglich Variation . Der Satz bedarf je nach Situation einer Präzisierung, was genau mit »hinreichend gutartig« gemeint ist. Ggf. muss man noch eine Übertragung der Konzepte auf Mannigfaltigkeiten vornehmen.

Ist eine reelle Funktion oder ein Skalarfeld, bekommt man das klassische notwendige Kriterium. Ist die Lagrange-Funktion erster Art, bekommt man das notwendige Kriterium für Extremwerte unter Nebenbedingungen. Ist das als Integral der Lagrangefunktion zweiter Art definierte Funktional, bekommt man die Variationsrechnung, die Euler-Lagrange-Gleichung. Für spezielle Lagrangefunktion oder -dichten ist die Wirkung, und man bekommt den Lagrange-Formalismus. Diese Rechentechnik führt bei der Betrachtung von Lagrangedichten von der klassischen Feldtheorie bis in die Quantenfeldtheorien und die allgemeine Relativitätstheorie hinein. Unter anderem erhält man so eine Herleitung der Maxwell-Gleichungen oder der Einstein-Gleichungen, siehe Einstein-Hilbert-Wirkung.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Eine kurze Bemerkung noch. Mir erscheint es sogar noch günstiger, das Theorem allgemeiner bezüglich kritischer Stellen zu formulieren, worin die Extremstellen eingeschlossen sind. Bei den Lagrange-Funktionen erster Art (Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren) ist ja erst einmal nicht klar, ob da auch Sattelpunkte vorkommen oder nicht. Das heißt, auch ein Sattelpunkt der Lagrange-Funktion könnte einen Extrempunkt bezüglich der ursprünglichen Problemstellung liefern.
laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

mich haben am meisten fasziniert:

ist abzählbar.

und

ist nicht abzählbar.


Als ich diese beiden Sätze verstanden hatte, wusste ich, dass ich für ein Studium der Mathematik geeignet bin.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mein persönlicher Platz 1 ist die Eulersche Polyederformel.
Mein persönlicher Platz 2 ist, daß es nur 5 reguläre Polyeder gibt.

Die Formel 5 findet man immer wieder in solchen Auflistungen. Warum da das (in meinen Augen) noch viel schönere



fehlt, weiß ich nicht. Jedenfalls streitet das bei mir mit 1 um Platz 3. Ich würde 1 allerdings in der Form



schreiben. Die Zahlen 0 und 1 als die Urgründe des Zählens und Rechnens. und als "die" Vertreter der transzendenten Welt. Und schließlich , wenn sich das Zahlenuniversum ins Imaginäre öffnet. Schade nur, daß "der" Vertreter der irrationalen algebraischen Zahlen fehlt, die .
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Favorit für den schönsten Satz der Mathematik ist das Henselsche Lemma. In aller Bescheidenheit tritt es zu Beginn des 20.Jahrhunderts als Hilfssatz auf, kann aber mit Fug und Recht als Fundamentaltheorem der p-adischen Zahlen bezeichnet werden. Kurt Hensel hat uns hiermit einen ganzen Werkzeugkasten gegeben, mit dem wir aus den endlichen Körpern von Primzahlordnung algebraische Erweiterungen der p-adischen Körper konstruktiv studieren können.
Zusammen mit Helmut Hasses Lokal-Global-Prinzip, der Klassenkoerpertheorie und dem allgemeinen Reziprozitaetsgesetz erschließt sich uns die ganze Schönheit der Welt der Zahlen (siehe Helmut Hasse "Zahlbericht").
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Schon einmal vielen Dank für die interessanten Beiträge.
Ich persönlich finde Sätze schön, die scheinbar weit entfernte Gebiete der Mathematik miteinander verbinden. Da fällt mir zuerst der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung ein. Er spannt den Bogen von den Flächen-Exhaustionsmethoden der alten Griechen bis zu den Fluxionen Newtons und Tangentenproblemen und Differentialbetrachtungen Leibniz'. Oder der Satz von Taylor, der für Klassen von Funktionen den Funktionsverlauf vollständig durch die Ableitungen an einem Punkt festlegen.

Aber Mathematik bleibt für mich eine Erkundungsreise, weil ich die meisten schönen Sätze in den Tiefen der Mathematik gar nicht kenne. Daher auch besonderer Dank @Elvis.
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