Gruppenwirkung

13.05.2021, 09:57

phlegmatisch

Gruppenwirkung

Meine Frage:
Hallo zusammen, wir besprechen in unserer LinA 2 gerade das Thema Gruppenwirkung und ich habe eine Aufgabe bekommen.
$\begin{eqnarray*} X:=\left \{ A \in \mathbb{C}^{nxn}: A nilpotent \right \} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mu: G \times X \rightarrow X, \left ( g,A \right ) \mapsto g\cdot A\cdot g^{-1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} G:=GL_n\left ( \mathbb{C} \right ) \end{eqnarray*}$
zz: Für X wird durch $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ eine Gruppenwirkung von $\begin{eqnarray*} \left ( G,\cdot \right ) \end{eqnarray*}$ auf X definiert.

Meine Ideen:
Soweit so gut, die Definition einer Gruppenwirkung kenne ich natürlich und das beweisen viel mir nicht schwer (ich tippe es war zu einfach):
1. Seien $\begin{eqnarray*} A \in X , e=E_n \in G \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \mu\left ( E_n,A \right ) = E_n\cdot A\cdot \left ( E_n \right )^{-1} = A \end{eqnarray*}$

2. Seien $\begin{eqnarray*} A \in X; G_1, G_2 \in G \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \mu\left ( G_1, \mu\left ( G_2,A \right ) \right ) = \mu\left ( G_1, G_2\cdot A\cdot \left ( G_2 \right )^{-1} \right ) = G_1\cdot \left ( G_2\cdot A\cdot \left ( G_2 \right )^{-1} \right )\cdot \left ( G_1 \right )^{-1} = \left ( G_1\cdot G_2 \right )\cdot A\cdot \left ( \left ( G_2 \right )^{-1}\cdot \left ( G_1 \right )^{-1} \right ) = \left ( G_1\cdot G_2 \right )\cdot A\cdot \left ( G_1\cdot G_2 \right )^{-1} = \mu\left ( G_1\cdot G_2,A \right ) \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ eine Hruppenwirkung von G auf X.

Nun meine Frage(n):
1. Mir kommt es ein wenig zu leicht vor dieser Beweis, habe ich irgendwo was übersehen.
2. Darauf anschließend, ich habe nirgendwo gebraucht, dass meine Matrix A aus X nilpotent ist, habe ich auch hier etwas übersehen?

Vielen dank im Vorhinein.
LG

13.05.2021, 10:23

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gruppenwirkung
Du musst noch zeigen, dass wirklich $\begin{eqnarray*} \mu(g,A)\in X \end{eqnarray*}$ gilt.

13.05.2021, 11:29

phlegmatisch

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah na klar, danke. Das habe ich eben auch noch gezeigt und somit ist die Teilaufgabe beweisen.
(Das war Teilaufgabe a))
Nun hab ich mir intensiv die nächste Teilaufgabe angeschaut und festgestellt, dass dort die Nilpotenz richtig zum Tragen kommt. Die Aufgabe lautet:

zz: Die Menge X aus Teil a) besteht nur aus endlich vielen Bahnen.

Dort habe ich mir Folgendes überlegt:
Bew:
$\begin{eqnarray*} \forall A \in X \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \left \{ B \in X | \exists C \in G : \mu\left ( C,A \right )=B \right \} \end{eqnarray*}$ die Bahn durch A bezüglich X.
Seien also $\begin{eqnarray*} A,B \in X, C \in G \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \mu\left ( C,A \right ) = B \Leftrightarrow C\cdot A\cdot C^{-1} = B \Leftrightarrow A = C^{-1}\cdot B\cdot C \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} A = C^{-1}\cdot B\cdot C \end{eqnarray*}$ ist die Definition von Ähnlichkeit von Matrizen.
Nun die Frage: Existieren nur endlich viele ähnliche, nilpotente Matrizen? Weil dann würde die Menge X ja nur aus endlich vielen Bahnen bestehen?
LG

13.05.2021, 12:28

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei ähnliche Matrizen haben ein paar Dinge gemeinsam smile

13.05.2021, 12:48

phlegmatisch

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Nilpotenz wären ja interessant:
Zwei ähnliche Matrizen haben...
- gleiches charakteristisches Polynom und somit gleiche Eigenwerte
- gleiches Minimalpolynom
- gleiche Jordannormalform mit J = D+N und D*n = N*D
- und weiteres wie Rang, Determiante allgeimen etc

Nur was ist jetzt das Argument, dass es davon nur endlich viele gibt?
Da komme ich nicht so recht drauf, es gibt doch wohl unendlich viele Matrizen mit bsp. gleicher Jordannormalform und so, oder übersehe ich etwas?

LG

13.05.2021, 12:56

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn das Minimalpolynom aus?
Edit: Es geht übrigens nicht darum, ob es nur endliche viele Matrizen gibt sondern um die Zahl der Bahnen, sprich der Äquivalenzklassen.

13.05.2021, 13:27

phlegmatisch

Auf diesen Beitrag antworten »

Über das Minimalpoylnom kann ich doch keine genau Aussage treffen oder? Es ist doch theoretisch $\begin{eqnarray*} M_A\left ( \lambda \right )=P_A\left ( \lambda \right ) = \left ( -\lambda \right )^n \end{eqnarray*}$ möglich, aber auch $\begin{eqnarray*} M_A\left ( \lambda \right )=\left ( -\lambda \right )^{n-x} \end{eqnarray*}$ möglich, für x = 1,2,...
oder nicht?
Bezüglich der Äquivalenzklasse ist Folgendes zu beachten:
$\begin{eqnarray*} \left [ A \right ] = \left \{ B \in X | \exists G_1 \in G:B = \mu\left ( G_1,A \right )\right \} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A \in X \end{eqnarray*}$ .

13.05.2021, 13:29

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie viele verschiedene Minimalpolynome gibt es also?

13.05.2021, 15:04

phlegmatisch

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \left ( -\lambda \right )^n,...,\left ( -\lambda \right )^{n-(n-1)} = \left ( -\lambda \right )^1 \end{eqnarray*}$ . Folglich gibt es n-1 viele Minimalpolynome.

13.05.2021, 15:25

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind n Stück.
Wie viele Bahnen gibt es also?

13.05.2021, 15:29

phlegmatisch

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar n Stück, weiß nicht wie ich auf n-1 komme, hab es ja soagr anders geschrieben gehabt Augenzwinkern

Anzahl an Bahnen:
n Möglichkeiten an Minimalpolynomen => ex. maximal n viele Matrizen B aus X, die nilpotent sind.

13.05.2021, 15:40

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von phlegmatisch
ex. maximal n viele Matrizen B aus X, die nilpotent sind.

Diese Aussage ist doch Käse geschockt

Alle Matrizen aus X sind nilpotent und natürlich gibt es davon unendlich viele.
Die Frage ist doch, wie viele verschieden Bahnen, also letztlich Äquivalenzklassen, gibt es in X.
Und das sind in der Tat n, das musst du jetzt noch begründen.

13.05.2021, 15:55

phlegmatisch

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, ich habe mich falsch ausgedrückt.
Das Argument: Da die ähnlichen Matrizen dieselbe Jordan-Normalform haben, (haben wir gerade gesehen) gibt es zu jeder Äquivalenzklasse genau eine Jordan-Normalform. Da es n verschiede Möglichkeiten des Minimalpolynoms gibt, gibt es n verschiede Möglichkeiten für die Jordan-Normalform (von der Anordnung der Jordanblöcke abgesehen eindeutign viele). Folglich gibt es n Äquivalenzklassen.

LG

13.05.2021, 18:34

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich war tatsächlich überzeugt, man müsse nur die Anzahl der Minimalpolynme zählen. Das ist aber falsch. Der Exponent des Minimalpolynoms liefert nur die Dimension des größten Jordankästchens (zum Eigenwert Null, weil es bei nilpotenten Matrizen nur den gibt).
Du hast also mit der Betrachtung der Jordan-Normalformen recht. Wie auch immer, davon gibt es in diesem Fall auch nur endlich viele.
Edit $\begin{eqnarray*} 2^n-1 \end{eqnarray*}$ verschiedene, würde ich behaupten.

14.05.2021, 16:00

phlegmatisch

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe!

LG

Neue Frage »

Antworten »

Gruppenwirkung

Verwandte Themen