2 Urnen, 4 Kugeln

13.05.2021, 19:55

Gast999192332

2 Urnen, 4 Kugeln

Meine Frage:
Hi zusammen, folgende Aufgabe:

Ich habe 2 Urnen und 4 Kugeln. Wie werden formal die Anzahl der Möglichkeiten bestimmt, mit der die Kugeln in unterschiedlichen Urnen liegen? Jede Kuggel darf nur einmal verwendet werden und in jede Urne kommen genau 2 Kugeln, da sie gleichmäßig aufgeteilt werden müssen.

Beispiel:

Urne 1, Urne 2
(1,2); (3,4)
(1,3) traurig

2,4)
(1,4) traurig

2,3)
(4,3) traurig

1,2)<-- selbe Kombination wie im ersten Fall
(3,4) traurig

1,2)<-- selbe Kombination wie im ersten und vierten Fall
Lösung: 3 Möglichkeiten

Meine Ideen:
Ich dachte zunächst, es müsste (n über k)/Anzahl Urnen sein, aber das führt bei 6 Kugeln und 3 Urnen zum Ergebnis 5, was aus meiner Sicht nicht stimmt. Kann mir da jemand weiterhelfen?

14.05.2021, 06:22

early

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung: 2 Urnen, 4 Kugeln
Es gibt (4über2) = 6 mögliche Paare.
Aus diesen 6 sind jeweils 2 auszuwählen und in die Urnen zu legen.
Dabei ist die Reihenfolge der Urnen zu beachten.
z.B.
12-34/ 34-12
usw.

14.05.2021, 07:58

themenstarter

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Danke für die Antwort, die Begründung erscheint mir logisch, weil es auch meine ist. Hier nochmal einige Fälle: 6 Kugeln, jeweils 2 in 3 Urnen: (6 über 2) = 30 Paare. Aufteilen auf 3 Urnen: 10 Möglichkeiten.

6 Kugeln, jeweils 3 in zwei Urnen: (6 über 3 Tripel) = 120 Tripel. Verteilen auf 2 Urnen: 60 Möglichkeiten.

100 Kugeln, jeweils 5 in 20 Urnen: (100 über 5) = 75287520. Verteilen auf 20 Urnen: 3764376 Möglichkeiten.

Vielen Dank smile

14.05.2021, 11:15

Huggy

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Da passt einiges nicht.

Zitat:

Original von themenstarter
Hier nochmal einige Fälle: 6 Kugeln, jeweils 2 in 3 Urnen: (6 über 2) = 30 Paare. Aufteilen auf 3 Urnen: 10 Möglichkeiten.

Zunächst mal ist

$\begin{eqnarray*} \binom 6 2 =15 \end{eqnarray*}$

Betrachtet man unterscheidbare Urnen, so gibt es für die erste Urne $\begin{eqnarray*} \binom 6 2 =15 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten und dann für die zweite Urne noch $\begin{eqnarray*} \binom 4 2 =6 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Für die dritte Urne gibt es nur noch eine Möglichkeit. Insgesamt hat man also

$\begin{eqnarray*} K_u=\binom 6 3 \binom 4 2 =90 \end{eqnarray*}$

Möglichkeiten. Betrachtet man nicht unterscheidbare Urnen, können die 3 Urnen noch beliebig permutiert werden. Dann ist noch durch diese $\begin{eqnarray*} 3!=6 \end{eqnarray*}$ Permutationen zu teilen. Das ergibt

$\begin{eqnarray*} K_{nu}=\frac {90} 6 =15 \end{eqnarray*}$

Möglichkeiten. In dem Sinne solltest auch mal deine anderen Beispiele prüfen.

14.05.2021, 12:32

themmenstarter

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Besten Dank für deine Ausführungen Huggy. Ist alles sehr einleuchtend. Das Thema ist bei mir schon sehr lange her und es macht wirklich Spaß, sich da wieder reinzuarbeiten und dabei unterstützt zu werden.

14.05.2021, 14:00

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Für den Fall 6 Kugeln, jeweils 2 in 3 unterscheidbaren Urnen kann man auch folgendermaßen argumentiern:
Man numeriert die Urnen mit den Zahlen 1,2,3 und verteilt die Nummern der Urnen auf die 6 Kugeln. Weil jede Urne genau zweimal vorkommen soll, hat man sechs Zettel, auf denen die Nummern 1, 2, 3 jeweils genau zweimal auftauchen. Für die Verteilung der Zettel auf die Kugeln hat man $\begin{eqnarray*} \frac{6!}{2!2!2!}=90 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

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