Irreduzibles Polynom beweisen

14.05.2021, 16:20	Tomm	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibles Polynom beweisen Meine Frage: Ich soll zeigen, dass es ein Polynom f aus K[x] gibt, mit grad(f)>0, ohne Nullstellen. K ist dabei ein endlicher Körper. Meine Ideen: Ich bin der Meinung, dass ich die Existenz eines irreduziblen Polynoms zeigen soll, deshalb auch mein Titel. Jetzt weiß ich aber nicht ob es reicht einfach eins hinzuschreiben. Das kommt mir etwas zu simpel vor. Ich hätte dann einfach x^2 + 1 gewählt. Falls das doch der richtige Ansatz wäre oder falls mir jemand da anders helfen könnte, wäre das Top.
14.05.2021, 16:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst nur zeigen, daß es ein nullstellenfreies Polynom gibt. Vielleicht fängst du einmal damit an, ein Polynom anzugeben, daß genau die Elemente des Körpers als Nullstellen besitzt.
14.05.2021, 16:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
X^2+1 hat im Körper mit 5 Elementen offenbar die Nullstelle 2, denn 2^2+1=5=0.
15.05.2021, 11:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktiver Vorschlag: Betrachte die normierten quadratischen Polynome $\begin{eqnarray} (x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab=x^2+\alpha x+\beta \end{eqnarray}$ und berechne die Mächtigkeit der beiden Mengen $\begin{eqnarray} \{(x-a)(x-b)=(x-b)(x-a) : a,b\in K\},\{x^2+\alpha x+\beta : \alpha,\beta \in K\} \end{eqnarray}$

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