Injektiv / Surjektiv |
15.05.2021, 14:16 | Mathehea | Auf diesen Beitrag antworten » |
Injektiv / Surjektiv Aber was ist wenn V = R^3 und W = C^3 und f hat die Abbildungsvorschrift: [a,b,c] |-> [a+ib,c,0]. Aber dann kann sie doch nicht surjektiv sein oder? |
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15.05.2021, 14:31 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zu einem Vektorraum gehört immer auch ein Körper , dieser kann durchaus Einfluss auf die Dimension haben. So kann man als Vektorraum über oder über auffassen. Abhängig von der Wahl des Körpers wird sich dann die Dimension von unterscheiden. Für den Fall haben wir , wenn wir als -Vektorraum auffassen (eine Basis wäre etwa ) aber wenn wir von einem -Vektorraum ausgehen. Der von dir verwendete Satz beginnt nun aber mit der Voraussetzung, dass Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper sein sollen, somit haben und nicht die gleiche Dimension. |
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15.05.2021, 14:32 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist sie nicht, aber sie erfüllr ja auch nicht die Voraussetzung deiner Behauptung. |
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15.05.2021, 14:40 | Mathehea | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also wäre sie injektiv, aber nicht surjektiv, richtig? |
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15.05.2021, 17:07 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Natürlich, da z.B. in der dritten Koordinate nur die Null erscheint und in der zweiten stets eine reelle Zahl. Somit haben z.B. (0,3,1) und (0,i,0) kein Urbild. |
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15.05.2021, 17:08 | Mathehea | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aber ich hab nicht ganz verstanden, woher man jetzt weiß über welchen Körper V und W definiert sind. |
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15.05.2021, 17:13 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei einer Aufgabe wird das vorgegeben. Manchmal wird aber auch davon ausgegangen, dass man sinnvolle Körper voraussetzt. Um bei deinem Beispiel zu bleiben: ist kein -Vektorraum, also wäre hier nur oder ein Teilkörper sinnvoll. Über diesem sind die Dimensionen von und aber niemals gleich. |
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15.05.2021, 17:20 | Mathehea | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok letzte frage: Also, beide wurden über den Körper R definiert. Also wäre dimR^2 = 2 und dimC^2 = 4? Richtig? |
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15.05.2021, 17:58 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
So ist es. |
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