Injektiv / Surjektiv

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Mathehea Auf diesen Beitrag antworten »
Injektiv / Surjektiv
Es gilt ja für eine lineare Abbildung, wenn f injektiv ist und dim(V) = dim(W), dann muss sie nach unserem Skript auch surjektiv sein.

Aber was ist wenn V = R^3 und W = C^3 und f hat die Abbildungsvorschrift: [a,b,c] |-> [a+ib,c,0].

Aber dann kann sie doch nicht surjektiv sein oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zu einem Vektorraum gehört immer auch ein Körper , dieser kann durchaus Einfluss auf die Dimension haben. So kann man als Vektorraum über oder über auffassen. Abhängig von der Wahl des Körpers wird sich dann die Dimension von unterscheiden. Für den Fall haben wir , wenn wir als -Vektorraum auffassen (eine Basis wäre etwa ) aber wenn wir von einem -Vektorraum ausgehen.

Der von dir verwendete Satz beginnt nun aber mit der Voraussetzung, dass Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper sein sollen, somit haben und nicht die gleiche Dimension.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ist sie nicht, aber sie erfüllr ja auch nicht die Voraussetzung deiner Behauptung.
Mathehea Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre sie injektiv, aber nicht surjektiv, richtig?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich, da z.B. in der dritten Koordinate nur die Null erscheint und in der zweiten stets eine reelle Zahl.
Somit haben z.B. (0,3,1) und (0,i,0) kein Urbild.
Mathehea Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich hab nicht ganz verstanden, woher man jetzt weiß über welchen Körper V und W definiert sind. verwirrt
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einer Aufgabe wird das vorgegeben.
Manchmal wird aber auch davon ausgegangen, dass man sinnvolle Körper voraussetzt. Um bei deinem Beispiel zu bleiben: ist kein -Vektorraum, also wäre hier nur oder ein Teilkörper sinnvoll. Über diesem sind die Dimensionen von und aber niemals gleich.
Mathehea Auf diesen Beitrag antworten »

Ok letzte frage:

Also, beide wurden über den Körper R definiert. Also wäre dimR^2 = 2 und dimC^2 = 4?

Richtig?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es.
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