Quadratische Körpererweiterungen von Q_5

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MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Körpererweiterungen von Q_5
Hallo Leute smile

ich möchte die quadratischen Körpererweiterungen von bestimmen.
Nun, ich weiß ja dass eine Körperweiterung die Form hat.
Nun müsste ich doch so bestimmen, dass es kein Quadrat in ist.
Ist meine Denkweise da richtig? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Grundsätzlich hast du natürlich recht, aber die Aufgabe ist nicht trivial. Wieder einmal kann man bei Alain M. Robert "A Course in p-adic Analysis" nachlesen "1. p-adic Numbers", "1.6 Hensel's Philosophy", "1.6.6 Second Application: Square Roots in ". Die Lösung des Problems ergibt sich - wie so vieles - aus dem Henselschen Lemma. 2 ist übrigens eine spezielle Primzahl, und es gibt genau 7 nichtisomorphe quadratische Erweiterungen von .
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

danke für deine Zeit. Ich werde gleich mal schauen ob unsere Bib das Buch online hat und dort mal nachschlagen. Ansonsten weiß ich zumindest schonmal, dass ich ich das Henselsche lemma zu Rate ziehen muss, und das werde ich dann mal aus anderer Quelle und mich nochmal melden smile Vielen Dank!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor du dich auf eine lange Reise begibst, bedenke dass das Henselsche Lemma der absolute Oberhammer ist. Um dieses Theorem und seine Anwendungen zu studieren, musst du Jahre deines Lebens investieren.
Beginne mit Alain M. Robert, dann kommst du schnell zum Ziel und siehst exemplarisch, wie nützlich eine Version des Henselschen Lemmas ist. Wenn du dich mit p-adischen Zahlen beschäftigen möchtest, dann empfehle ich dir, das Buch zu beschaffen, es ist leicht lesbar und sehr gehaltvoll.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

also unsere Bib hat das Buch leider nicht. Das Henselsche Lemma habe ich ja nun vor zwei Wochen zum ersten Mal überhaupt gesehen. Ich würde wirklich gerne verstehen, wie ich an diese Aufgabe herangehe. Aber ich sehe halt den Zusammenhang nicht. Kannst du mir vielleicht nochmal einen Tritt in die Richtung geben?

Also soweit ich das verstanden hab, muss ich doch erstmal bestimmen. Das ist doch .

Und jetzt muss ich doch überlegen, für welche gilt: .
Oder?

LG
Maren
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vor 45 Jahren ging es mir so ähnlich wie dir heute. Ich habe damals zum ersten Mal gehört, dass es neben den reellen Zahlen noch so etwas exotisches wie p-adische Zahlen gibt. Dann hatte ich das große Glück, von einem Meister seines Fachs unterrichtet zu werden und durfte am mathematischen Institut im Arbeitskreis Zahlentheorie mitarbeiten. Über das Henselsche Lemma habe ich damals ein Semester lang im Rahmen eines Seminars vorgetragen. Es hat sich insofern gelohnt als dass ich durch die großzügige Unterstützung erfahrener Kollegen und Kolleginnen zwar bei weitem kein Experte aber immerhin Spezialist auf diesem Gebiet wurde.
Wenn du dir das Buch nicht besorgen kannst, in dem deine Fragen ausführlich und knapp beantwortet werden, musst du dich gedulden (oder eine andere Quelle suchen). Bis Dienstag nachmittag bin ich familiär gebunden, wenn dann noch Bedarf besteht, lasse ich dir eine Kopie des oben genannten Abschnitts zukommen.
Im Grunde genommen läuft die Lösung des Problems darauf hinaus, in der multiplikativen Gruppe des p-adischen Zahlkörpers die Untergruppe der Quadrate zu bestimmen (das geht mit dem Henselschen Lemma) und die Faktorgruppe zu berechnen.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

... eben noch ein wenig Zeit ...
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

das ist ja mal ein toller Service! Vielen Dank dafür!
ich werde mich heute nach der letzten Veranstaltung direkt damit auseinandersetzen. Ganz toll, danke smile
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