Konvergenzradius bestimmen

16.05.2021, 21:06

dasd123

Konvergenzradius bestimmen

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{2-e^z}+\frac{1}{2}\frac{1}{z-\ln(2)} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht vertan habe, besitzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine hebbare Singularität bei $\begin{eqnarray*} z=\ln(2) \end{eqnarray*}$ und Polstellen bei $\begin{eqnarray*} z=\ln(2)+2\pi i k,\quad k \in \mathbb Z\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

Was ist jetzt der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

Ist es $\begin{eqnarray*} \sqrt{\ln(2)^2+4\pi^2} \end{eqnarray*}$ oder einfach nur $\begin{eqnarray*} \ln (2) \end{eqnarray*}$

16.05.2021, 23:10

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius bestimmen

Zitat:

Original von dasd123
Was ist jetzt der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

Ich vermute, daß die Reihenentwicklung um 0 gehen soll.

Zitat:

Original von dasd123
Ist es $\begin{eqnarray*} \sqrt{\ln(2)^2+4\pi^2} \end{eqnarray*}$ oder einfach nur $\begin{eqnarray*} \ln (2) \end{eqnarray*}$

Die hebbare Singularität spielt keine Rolle. Der Konvergenzradius ist also der Pythagoras-Ausdruck.

18.05.2021, 22:15

MasterWizz

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius bestimmen
Hey ich hoffe es ist ok, wenn ich mich einklinke. Ich finde die Frage super spannend, hab etwas drüber nachgedacht und verstehe nicht so ganz das Ergebnis.

Ihr habt ja sicher auch für beide Summanden die geometrische Reihe aufgestellt. Dann gilt doch $\begin{eqnarray*} f(z)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac12 \mathrm{e}^z\right)^n-\frac{1}{\ln(2)}\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\dfrac{z}{\ln(2)}\right)^n\right) \end{eqnarray*}$

Für die erste Reihe muss $\begin{eqnarray*} \left|\frac12 \mathrm{e}^z\right|=\frac12 \left|\mathrm{e}^{a+\mathrm{i}b}\right|=\frac12 \mathrm{e}^a\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i}b}\right| = \frac12 \mathrm{e}^a<1 \end{eqnarray*}$ gelten. Das ist genau dann erfüllt, wenn der Realteil $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kleiner ist als $\begin{eqnarray*} \ln(2) \end{eqnarray*}$ .

Für die zweite Reihe muss $\begin{eqnarray*} |z|<\ln(2) \end{eqnarray*}$ sein, das ist gleich der Schnittmenge mit der ersten Bedingung, also ist der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r=\ln(2) \end{eqnarray*}$ . Die weiteren Polstellen, die noch weiter entfernt liegen, sollten doch keinen Einfluss mehr haben, oder?

19.05.2021, 06:50

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache wird so recht erst mit der komplexen Funktionentheorie und der Gleichwertigkeit von Holomorphie (komplexe Differenzierbarkeit auf Gebieten) und Analytizität (Darstellung durch Potenzreihen) verständlich. Die Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ läßt sich bei $\begin{align*} z = \ln(2) \end{align*}$ holomorph ergänzen, ihre Taylor-Reihe um 0 konvergiert daher im größtmöglichen Kreis um 0, der zum Holomorphiegebiet von $\begin{align*} f \end{align*}$ gehört. Dieser Kreis stößt aber bei $\begin{align*} z = \ln(2) \pm 2 \pi \operatorname{i} \end{align*}$ an Polstellen an. Mit dem Satz des Pythagoras läßt sich der Konvergenzradius berechnen. Es ist gerade der Betrag der beiden Polstellen. Mit der geometrischen Reihe hat das eher weniger zu tun. Es geht ja auch nicht um eine Entwicklung in Potenzen von $\begin{align*} \operatorname{e}^z \end{align*}$ , sondern in Potenzen von $\begin{align*} z \end{align*}$ .

19.05.2021, 09:12

MasterWizz

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir! Ich muss erst mal hinnehmen, dass ich es noch nicht ganz verstehe, warum der Ansatz über die geometrische Reihe nicht funktioniert. Wäre die Funktion in der Reihendarstellung gegeben, hätte ich direkt damit argumentiert, ohne weiter drüber nachzudenken. Hast du dazu vlt eine Quelle (Skript, Buch,..), die du empfehlen kannst? Würde mich darin wirklich gern weiterbilden.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenzradius bestimmen

Verwandte Themen