Konvergenzradius bestimmen |
16.05.2021, 21:06 | dasd123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Konvergenzradius bestimmen Wenn ich mich nicht vertan habe, besitzt eine hebbare Singularität bei und Polstellen bei Was ist jetzt der Konvergenzradius von ? Ist es oder einfach nur |
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16.05.2021, 23:10 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenzradius bestimmen
Ich vermute, daß die Reihenentwicklung um 0 gehen soll.
Die hebbare Singularität spielt keine Rolle. Der Konvergenzradius ist also der Pythagoras-Ausdruck. |
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18.05.2021, 22:15 | MasterWizz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenzradius bestimmen Hey ich hoffe es ist ok, wenn ich mich einklinke. Ich finde die Frage super spannend, hab etwas drüber nachgedacht und verstehe nicht so ganz das Ergebnis. Ihr habt ja sicher auch für beide Summanden die geometrische Reihe aufgestellt. Dann gilt doch Für die erste Reihe muss gelten. Das ist genau dann erfüllt, wenn der Realteil kleiner ist als . Für die zweite Reihe muss sein, das ist gleich der Schnittmenge mit der ersten Bedingung, also ist der Konvergenzradius . Die weiteren Polstellen, die noch weiter entfernt liegen, sollten doch keinen Einfluss mehr haben, oder? |
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19.05.2021, 06:50 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Sache wird so recht erst mit der komplexen Funktionentheorie und der Gleichwertigkeit von Holomorphie (komplexe Differenzierbarkeit auf Gebieten) und Analytizität (Darstellung durch Potenzreihen) verständlich. Die Funktion läßt sich bei holomorph ergänzen, ihre Taylor-Reihe um 0 konvergiert daher im größtmöglichen Kreis um 0, der zum Holomorphiegebiet von gehört. Dieser Kreis stößt aber bei an Polstellen an. Mit dem Satz des Pythagoras läßt sich der Konvergenzradius berechnen. Es ist gerade der Betrag der beiden Polstellen. Mit der geometrischen Reihe hat das eher weniger zu tun. Es geht ja auch nicht um eine Entwicklung in Potenzen von , sondern in Potenzen von . |
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19.05.2021, 09:12 | MasterWizz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke dir! Ich muss erst mal hinnehmen, dass ich es noch nicht ganz verstehe, warum der Ansatz über die geometrische Reihe nicht funktioniert. Wäre die Funktion in der Reihendarstellung gegeben, hätte ich direkt damit argumentiert, ohne weiter drüber nachzudenken. Hast du dazu vlt eine Quelle (Skript, Buch,..), die du empfehlen kannst? Würde mich darin wirklich gern weiterbilden. |
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