Totales Differential einer Matrix-Abbildung

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18.05.2021, 17:15	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Totales Differential einer Matrix-Abbildung Hey Leute ich steh etwas auf dem Schlauch bei folgender Aufgabe, könnt ihr mir da weiterhelfen? Zu zeigen ist, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^{n\times n}\rightarrow\mathbb{R}^{n\times n},\ M\mapsto M^3 \end{eqnarray}$ total differenzierbar ist und gesucht ist die Ableitung $\begin{eqnarray} f'(M) \end{eqnarray}$ . Habt ihr eine Idee?
18.05.2021, 17:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Idee: $\begin{eqnarray} 3M^2 \end{eqnarray}$ Aber ich habe keine Ahnung, warum und wieso und wie man das beweisen könnte. Das war einfach nur der (Kurz-)Schluß von 1 auf nxn.
18.05.2021, 18:37	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis von $\begin{eqnarray} M^3 \end{eqnarray}$ ist doch für jeden Eintrag ein Polynom in den $\begin{eqnarray} x_{ij} \end{eqnarray}$ , den Einträgen von $\begin{eqnarray} M=(x_{ij}) \end{eqnarray}$ . Dann existieren alle partiellen Ableitungen und sind stetig. Die totale Differenzierbarkeit bekommen wir somit geschenkt. Nun gilt doch abstrakt $\begin{eqnarray} f'(p)v=D_v f(p) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} D_v \end{eqnarray}$ die Richtungsableitung in Richtung $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ist. Wir haben hier $\begin{eqnarray} f'(M)V = D_V f(M) = \lim_{h\to 0}\frac{f(M+hV)-f(M)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(M+hV)^3-M^3}{h}. \end{eqnarray}$ Das macht $\begin{eqnarray} f'(M)V = M^2 V + MVM + VM^2. \end{eqnarray}$
18.05.2021, 21:42	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow richtig stark! Das folgt ja dann direkt aus der Definition! Kannst du vlt kurz erklären, wieso du die Richtungsableitung verwendet hast? Wenn du mir nur den Hinweis gegeben hättest mit dem Differentialquotienten zu arbeiten, dann hätte ich vielleicht gesagt $\begin{eqnarray} \lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(M+hE)-f(M)}{h} \end{eqnarray}$ , was nach gleichen Rechnung zu Elvis' Ergebnis geführt hätte, $\begin{eqnarray} 3M^2 \end{eqnarray}$ . Kannst du noch kurz was zur Matrix $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ sagen? Gesucht ist ja nur $\begin{eqnarray} f'(M) \end{eqnarray}$ .
19.05.2021, 00:28	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann würdest du nur eine spezielle Richtungsableitung berechnen. Was du haben willst, mit $\begin{eqnarray} f'(M) \end{eqnarray}$ bezeichnet, ist die totale Ableitung. Das ist an jeder Stelle $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung, die der Matrix $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ die Matrix $\begin{eqnarray} f'(M)(V) \end{eqnarray}$ zuordnet. Du könntest $\begin{eqnarray} f'(M) \end{eqnarray}$ auch als Jacobi-Matrix betrachten. Die würde die Richtungsableitungen bezüglich aller Standardmatrizen $\begin{eqnarray} E_{ij} \end{eqnarray}$ enthalten, das sind die partiellen Ableitungen nach den $\begin{eqnarray} x_{ij} \end{eqnarray}$ . Da tritt allerdings eine Indizierung über Indexpaare auf. Um eine gewöhnliche Matrix zu erhalten, müsste man die Standardmatrizen erst in eine bestimmte Reihenfolge bringen und neu durchnummerieren.
19.05.2021, 09:34	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir Finn! Ich hab die grundlegende Idee verstanden. In meinem Kopf kann ich nur leider noch einige Gedanken nicht richtig verknüpfen. Zum Beispiel: (1) Die Jacobimatrix $\begin{eqnarray} f'(M) \end{eqnarray}$ ist abhängig von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Beim Bilden der Richtungsableitung ist sie aber auch abhängig von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Was würden wir bei einer speziell gegebenen Matrix $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ für eine Ableitung erhalten? Immer eine Funktion abhängig von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ? (2) Muss noch mit der Inversen von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ (von rechts) multipliziert werden, um nach $\begin{eqnarray} f'(M) \end{eqnarray}$ umzustellen? (3) Hat $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ eigentlich immer eine Inverse? (4) Ich verstehe, warum wir bei $\begin{eqnarray} V=E \end{eqnarray}$ von partiellen Ableitungen reden können, das ist wie bei einer Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray}$ , wenn wir für den Richtungsvektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ die Einheitsvektoren einsetzen. Allerdings verwirren mich hier die vielen Dimensionen im Argument und dem Funktionswert. Wieso gibt es mehrere Standardmatrizen $\begin{eqnarray} E_{ij} \end{eqnarray}$ , wie sehen die aus und was unterscheidet sie? Ich finde das Thema super spannend und wahrscheinlich habe ich auf jede deiner Antworten wieder mehrere Fragen. Wenn es dir zu viel wird, wär ich auch super glücklich, wenn du mir eine Quelle (Skript, Buch,...) nennen kannst, wo ich nachlesen kann. Vielen Dank für eure Zeit!
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19.05.2021, 15:06	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu (1). Die Jacobimatrix selbst ist nicht von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ abhängig, das wäre ein Denkfehler. Betrachte dazu mal allgemein eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ zwischen Koordinatenräumen. Zu jeder solchen Abbildung $\begin{eqnarray} L\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m \end{eqnarray}$ gibt es genau eine Matrix $\begin{eqnarray} A\in\mathbb R^{m\times n} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} L(v)=Av \end{eqnarray}$ ist. Die lineare Abbildung ist vom Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ abhängig, muss sie auch sein, ist ja eine Abbildung. Die Matrix ist trotzdem gewiss eine Konstante. Angenommen, du hast $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ gegeben, willst aber $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ haben. Was macht man dann? Wir wissen: Die Spalten von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sind die Bilder der Basisvektoren der Standardbasis des Koordinatenraums. Somit gilt $\begin{eqnarray} L(\mathbf e_j)_i = A_{ij} \end{eqnarray}$ . Sei jetzt $\begin{eqnarray} f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m \end{eqnarray}$ allgemeine eine differenzierbare Abbildung. Dann ist die totale Ableitung zu jedem Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} L=\mathrm df(p) \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in der Nähe von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ approximiert. Zu jedem Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} L(v) \end{eqnarray}$ die Richtungsableitung in Richtung $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ , wobei diese Sprechweise streng genommen nur für $\begin{eqnarray} \|v\|=1 \end{eqnarray}$ gültig ist. Hier gibt es genau die eine Matrix $\begin{eqnarray} J_{ij} = L(\mathbf e_j)_i = \partial_{j}f_i \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} L(v)=Jv \end{eqnarray}$ . Was ich eigentlich schreiben wollte, ist $\begin{eqnarray} \mathrm df \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} f'(p) \end{eqnarray}$ die Jacobimatrix ist, gilt $\begin{eqnarray} \mathrm df(p)(v) = f'(p)v \end{eqnarray}$ . Eigentlich beschrieben habe ich $\begin{eqnarray} \mathrm df(M)(V) \end{eqnarray}$ . Zu (2). Nein. Wenn $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ invertierbar wäre und mit $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ kommutieren würde, ginge es, aber das ergäbe keinen Sinn. Zu (3). Nein, denn die ist ja beliebig. Zu (4). Der Matrizenraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray}$ ist isomorph zum Koordinatenraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} N=n^2 \end{eqnarray}$ . Die Standardmatrizen bilden als Vektoren betrachtet die Standardbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray}$ , die in einer bestimmten Reihenfolge der Standardbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^N \end{eqnarray}$ entspricht. Sei bspw. $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ . Da sind $\begin{eqnarray} E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Standardmatrizen. Ordnen wir die Spaltenvektoren der jeweiligen Matrix untereinander an, bekommen wir $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen in Richtung der Basisvektoren. Demzufolge besteht die Jacobimatrix aus den Richtungsableitungen in Richtung der Standardmatrizen. Die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ hat damit allerdings nichts zu tun.
20.05.2021, 14:38	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es in Ordnung für dich, dass wir weiter über das Thema schreiben? Mir persönlich macht es unglaublich großen Spaß, also vielen Dank dafür, wirklich!! Das bedeutet also, dass die totale Ableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f'(M)V = M^2V+MVM+VM^2 \end{eqnarray}$ besitzt. Wie lautet hier allerdings die Jacobi Matrix? Alle $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ Einträge der Jacobimatrix würde ich erhalten, wenn ich für V die $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ Standardmatrizen $\begin{eqnarray} E_ij \end{eqnarray}$ einsetze, richtig? Das macht dann in jedem der $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ Einträge der Jacobimatrix wieder eine $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ Matrix, oder? Können wir durch das Anordnen der Standardmatrizen als Einheitsvektoren die Jacobimatrix auch in die Form einer $\begin{eqnarray} n^2\times n^2 \end{eqnarray}$ bringen? Denn so wie die Aufgabe bisher aussieht, lässt sich die Jacobimatrix nicht in der gewohnen "Matrixform" angeben, oder?
20.05.2021, 17:41	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} M:=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}\\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Ordnen wir die Spalten untereinander an, dann ist $\begin{eqnarray} M = \begin{pmatrix}x_{11} \\ x_{21} \\ x_{12} \\ x_{22}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M^3 = \begin{pmatrix} x_{12}x_{21}x_{22}+2x_{11}x_{12}x_{21}+x_{11}^3 \\ x_{21}x_{22}^2+x_{11}x_{21}x_{22}+x_{12}x_{21}^2+x_{11}^2 x_{21} \\ x_{12}x_{22}^2+x_{11}x_{12}x_{22}+x_{12}^2x_{21}+x_{11}^2 x_{12} \\ x_{22}^3+2x_{12}x_{21}x_{22}+x_{11}x_{12}x_{21} \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Die partiellen Ableitungen nun in der gleichen Reihenfolge, $\begin{eqnarray} (\partial_{11},\partial_{21},\partial_{12},\partial_{22}) \end{eqnarray}$ . Das Resultat ist die Jacobi-Matrix $\begin{eqnarray} f'(M) = \begin{pmatrix} 2x_{12}x_{21}+3x_{11}^2 & x_{12}x_{22}+2x_{11}x_{12} & x_{21}x_{22}+2x_{11}x_{21} & x_{12}x_{21}\\ x_{21}x_{22}+2x_{11}x_{21} & x_{22}^2+x_{11}x_{22}+2x_{12}x_{21}+x_{11}^2 & x_{21}^2 & 2x_{21}x_{22}+x_{11}x_{21}\\ x_{12}x_{22}+2x_{11}x_{12} & x_{12}^2 & x_{22}^2+x_{11}x_{22}+2x_{12}x_{21}+x_{11}^2 & 2x_{12}x_{22}+x_{11}x_{12}\\ x_{12}x_{21} & 2x_{12}x_{22}+x_{11}x_{12} & 2x_{21}x_{22}+x_{11}x_{21} & 3x_{22}^2+2x_{12}x_{21} \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Nun der Vergleich mit $\begin{eqnarray} \mathrm df(M)(V) = M^2 V + MVM + VM^2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} V=E_{11} \end{eqnarray}$ . Lassen wir vom CAS ausrechnen, da kommt raus $\begin{eqnarray} \mathrm df(M)(E_{11}) = \begin{pmatrix} 2x_{12}x_{21}+3x_{11}^2 & x_{12}x_{22} + 2x_{11}x_{12}\\ x_{21}x_{22}+2x_{11}x_{21} & x_{12}x_{21} \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Die Spalten untereinander angeordnet ergibt wie gewünscht die erste Spalte der Jacobi-Matrix.
23.05.2021, 18:29	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast! Ja jetzt seh ich es!! Deine Ausführungen helfen mir extrem weiter beim Verständnis. Alles scheint wieder auf die Grundlagen zurückzuführen. Die Grundlagen sind einfach so wichtig, danke danke danke!

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