Produkt aus Integral positiv?

18.05.2021, 19:03	Mark84	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt aus Integral positiv? Meine Frage: Hallo zusammen, ich stehe vor der Frage, wann folgender Ausdruck positiv ist bzw. ob er immer positiv ist: $\begin{eqnarray} (1)\quad F(T)=\int_0^T[f(t)+g(t)]e^{-at}dt\cdot \int_0^Tg(t)e^{at}dt-\int_0^T[f(t)+g(t)]dt\cdot \int_0^Tg(t)dt \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(t)>f(t)>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ . "Mein" Ansatz: Mithilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und $\begin{eqnarray} u(t)=\sqrt{g(t)e^{-at}} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} v(t)=\sqrt{g(t)e^{at}} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (2)\quad \int_0^Tg(t)e^{-at}dt\cdot \int_0^Tg(t)e^{at}dt-\int_0^Tg(t)dt\cdot \int_0^Tg(t)dt=\int_0^Tu(t)^2dt\cdot \int_0^Tv(t)^2dt-\left(\int_0^Tu(t)v(t)dt\right)^2>0 \end{eqnarray}$ sodass "nur noch" gezeigt werden muss, dass $\begin{eqnarray} (3)\quad \int_0^Tf(t)e^{-at}dt\cdot \int_0^Tg(t)e^{at}dt-\int_0^Tf(t)dt\cdot \int_0^Tg(t)dt>0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} g(t)>f(t)>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ gilt. (Ich vermute, dass (3) genau dann gilt, wenn $\begin{eqnarray} g'(t)>f'(t) \end{eqnarray}$ gilt.) Ich würde mich sehr über Hinweise freuen. Viele Grüße Mark

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