Wie kann ich hier die harmonischen Zahlen einsetzen?

18.05.2021, 20:23

Der_Apfel

Wie kann ich hier die harmonischen Zahlen einsetzen?

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} n = k + \sum_{i = 1}^{k -1} floor\left(\frac{k}{i}\right) \end{eqnarray*}$ .

Wie kann ich hier jetzt nun einbringen, dass $\begin{eqnarray*} ln(k) < \sum_{i = 1}^k \frac{1}{i} \leq ln(k) + 1 \end{eqnarray*}$ ?

Also ich hab schon umgeformt auf:

$\begin{eqnarray*} n = k + \sum_{i = 1}^{k -1} floor\left(\frac{k}{i}\right) = k + \sum_{i = 1}^{k} floor\left(\frac{k}{i}\right) - 1 \end{eqnarray*}$ aber jetzt komm ich nicht weiter - jemand eine Idee?

19.05.2021, 07:42

IfindU

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RE: Wie kann ich hier die harmonischen Zahlen einsetzen?
Wenn du einfach eine Abschätzung haben möchtest, dann $\begin{eqnarray*} x - 1 \leq \mathrm{floor}(x) \leq x \end{eqnarray*}$

19.05.2021, 12:38

Der_Apfel

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Okay, aber wie kann ich nun $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} H(k) = \sum_{i=1}^k \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ ausdrücken?

19.05.2021, 16:12

IfindU

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Mir ist unklar, was du genau du willst? Willst du $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ exakt ausdrücken, willst du eine Abschätzung von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bekommen? Was ist dein Ziel?

19.05.2021, 17:31

Der_Apfel

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Eine Abschätzung.

H(k) steckt ja irgendwie in der Formel für n(k), aber ich weiß eben Aufgrund des Abrundens nicht, wie ich H(k) da einbauen kann.

19.05.2021, 18:10

IfindU

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RE: Wie kann ich hier die harmonischen Zahlen einsetzen?

Zitat:

Original von IfindU
Wenn du einfach eine Abschätzung haben möchtest, dann $\begin{eqnarray*} x - 1 \leq \mathrm{floor}(x) \leq x \end{eqnarray*}$

Wenn wir $\begin{eqnarray*} x = \frac k i \end{eqnarray*}$ einsetzen, erhalten wir
$\begin{eqnarray*} \frac k i - 1 \leq \mathrm{floor}(\frac k i) \leq \frac k i \end{eqnarray*}$ und Summation über $\begin{eqnarray*} i = 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ dann
$\begin{eqnarray*} k \left ( - 1 + \sum_{i=1}^k \frac 1 i\right) \leq \sum_{i=1}^k \mathrm{floor}(\frac k i) \leq k\sum_{i=1}^k\frac 1 i \end{eqnarray*}$ und da ist doch die harmonische Partialsumme.

19.05.2021, 19:10

Der_Apfel

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Ich glaube, das ist nicht richtig.

Für k = 4 hab ich z.B.:

$\begin{eqnarray*} 4 + \sum_{ i = 1 } ^ {3} floor(\frac{4}{i}) = 4 + 4 + 2 + 1 = 11 \end{eqnarray*}$

Aber $\begin{eqnarray*} k \sum_{i = 1}^k \frac{1}{i} = 4 \sum_{i = 1}^4 \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ ergibt 0.

D.h. $\begin{eqnarray*} k \sum_{i = 1}^k \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ kann nicht die obere Grenze sein

19.05.2021, 19:21

IfindU

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Mir ist ein wenig schleierhaft, wie du positive Zahlen addierst und auf 0 kommen möchtest.

Edit: Es ist $\begin{eqnarray*} 4 \sum_{i = 1}^4 \frac{1}{i} = 4 \left ( 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 4 \right) = \frac { 25 } 3 \end{eqnarray*}$ und insb. $\begin{eqnarray*} 4 + 4 \sum_{i = 1}^4 \frac{1}{i} = \frac {37} 3 = 11 + \frac { 4 } 3 > 11 \end{eqnarray*}$ .

Die ganze Abschätzung und Rechnung basiert auf einer einzigen Beobachtung: Abrunden macht Zahlen höchstens kleiner, nie größer.

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