Matrixabbildung Basiswechsel

19.05.2021, 16:34	Taylor13	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixabbildung Basiswechsel Meine Frage: Wir sollen eine Matrixdarstellung bezüglich einer Basis B' angeben, die Basis B' ist gegeben durch b1=(-2,3) und b2=(1,-2) Die Aufgabe gibt vor, dass es sich um eine Funktion R2->R2 handelt die mit der Standardbasis durch die Matrix A=(-2,2;-3,-3) (die 2en als 1. Spalte und die 3en in der 2.) des Weiteren soll man einen Vektor v=(-5,3) bezüglich der Basis B' angeben. Meine Ideen: der Vektor v bezüglich B' ist klar, hier kriege ich den Vektor (7,9) mit einem Gleichungssystem. Allerdings weiß ich nicht wie ich vorgehen soll, um die Basis der Funktion zu wechseln weil ich ja keine richtige Funktion angeben habe.
19.05.2021, 18:23	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst die beiden Basisvektoren $\begin{eqnarray} b_1,b_2 \end{eqnarray}$ zu der Matrix $\begin{eqnarray} B' = (b_1,b_2) = \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 3 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zusammenfassen. Dann gilt $\begin{eqnarray} v = B'v_{B'} \end{eqnarray}$ . Umstellen bringt $\begin{eqnarray} v_{B'} = (B')^{-1}v \end{eqnarray}$ . Da kommt natürlich das gleiche Ergebnis raus wie du bereits ermittelt hast. Nun gilt diese Beziehung auch für das Argument von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Somit ist $\begin{eqnarray} f(v) = Av = AB'v_{B'}. \end{eqnarray}$ Und sie gilt für den Wert, womit $\begin{eqnarray} f(v)_{B'} = (B')^{-1}f(v) \end{eqnarray}$ ist. Beides zusammen ergibt $\begin{eqnarray} f(v)_{B'} = (B')^{-1}AB'v_{B'}. \end{eqnarray}$ Demzufolge ist $\begin{eqnarray} M_{B',B'}(f) = (B')^{-1}AB' \end{eqnarray}$ .

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