QR-Zerlegung mit Householder für LAP

20.05.2021, 10:17	phlegmatisch	Auf diesen Beitrag antworten »
QR-Zerlegung mit Householder für LAP Meine Frage: Hallo, ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe die ich mache: Ich soll mittels QR-Zerlegung die Lösung eines linearen Ausgleichsproblem finden. Ich habe soweit alles aufgestellt und meine Matrix ist die Folgende: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix}<br /> 2 & 0 \\ <br /> 1 & 1 \\ <br /> 2 & 1<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun soll ich also von A eine QR Zerlegung finden. Meine Ideen: Wir haben eine Algo. den ich durchgegangen bin, allerdings ist es dieses Mal eine nicht-quadratische Matrix und dort stoße ich auf Probleme: 1. $\begin{eqnarray} \alpha_1 \end{eqnarray}$ bestimmen: $\begin{eqnarray} \alpha_1 = -sign(a_{11})\cdot \left \\| a_[._1] \right \\| = -sign(2)\cdot \left \\| \begin{pmatrix}<br /> 2\\ <br /> 1\\ <br /> 2<br /> \end{pmatrix} \right \\| = -3 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ bestimmen: $\begin{eqnarray} v_1 = a_{._1}-\alpha_1\cdot e_1 = \begin{pmatrix}<br /> 2\\ <br /> 1\\ <br /> 2<br /> \end{pmatrix} -\left ( -3 \right )\cdot \begin{pmatrix}<br /> 1\\ <br /> 0\\ <br /> 0<br /> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}<br /> 5\\ <br /> 1\\ <br /> 2<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 3. 1. orthogoanle Matrix bestimmen: $\begin{eqnarray} Q_1 = E_3-\frac{2\cdot v_1\cdot v_1^T}{v_1^T\cdot v_1} = \begin{pmatrix}<br /> 1 & 0 & 0\\ <br /> 0& 1 & 0\\ <br /> 0& 0 & 1<br /> \end{pmatrix}-\frac{1}{15}\cdot \begin{pmatrix}<br /> 25 & 5 & 10\\ <br /> 5 & 1 & 2\\ <br /> 10& 2 & 4<br /> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}<br /> -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3}\\ <br /> -\frac{1}{3}& \frac{14}{15} & -\frac{2}{15}\\ <br /> -\frac{2}{3}& -\frac{2}{15} & \frac{11}{15}<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 4. Orthogonale Matrix von links multiplizieren $\begin{eqnarray} Q_1\cdot A = \begin{pmatrix}<br /> -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3}\\ <br /> -\frac{1}{3}& \frac{14}{15} & -\frac{2}{15}\\ <br /> -\frac{2}{3}& -\frac{2}{15} & \frac{11}{15}<br /> \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}<br /> 2 & 0\\ <br /> 1 & 1\\ <br /> 2 & 1<br /> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}<br /> -3 & -1\\ <br /> 0& \frac{4}{5}\\ <br /> 0& \frac{3}{5}<br /> \end{pmatrix} =:A_1 \end{eqnarray}$ Offensichtlich noch keine obere Dreiecksmatrix, also muss ich eine weitere orthogonale Matrix finden. Nun kommt mein Problem: Wir haben immer eine 3x3 Matrix gehabt und bei dem Fall das eine weitere Matrix benötigt wurde, haben wir dann von unserer ausgerechnetet Matrix $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ den rechten unteren 2x2 Teil genommen und damit den Algo. nochmal durchlaufen. Jetzt habe ich bei meiner Matrix $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ so einen Teil nicht, muss ich dann dort einfach mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}<br /> \frac{4}{5}\\ <br /> \frac{3}{5}<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ den Algo. durchlaufen, oder doch mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}<br /> -1\\ <br /> \frac{4}{5}\\ <br /> \frac{3}{5}<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Vielen Dank im Vorhinein!
20.05.2021, 10:35	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe Deiner Rechnung nicht überprüft, aber es geht auf jeden Fall mit dem 2-dim Vektor weiter. Gruß pwm
20.05.2021, 11:05	phlegmatisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo danke für die Antwort. Mit einem QR-Rechner komme ich auch auf die Matrix $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ , von daher wird diese richtig sein. Also durchlaufe ich den ALgo. jetzt mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}<br /> \frac{4}{5}\\ <br /> \frac{3}{5}<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? LG
20.05.2021, 12:27	phlegmatisch	Auf diesen Beitrag antworten »
So habe es durchgerechnet und komme auf meine QR-Zerlegung und stimmt auch alles. Vielen Dank!

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