Lineare Abbildungen von Polynomen

20.05.2021, 18:23

Enrico21

Lineare Abbildungen von Polynomen

Hallo,

ich könnte bei der folgenden Aufgabe Hilfe gebrauchen.

V ist der Vektorraum der Polynome 3. Grades.
Also maximal Polynome vom Typ: ax^0 + bx^1 + cx^2 + dx^3

L ist jetzt die Abbildung, die das Polynom p auf die Funktion abbildet?
Das verwirrt mich:

L : p -> x->p(x)-xp'(x) ?

Also wie schreibt man die Abbildungsvorschrift auf? Wie kann man ein Polynom auf eine Funktion abbilden?

20.05.2021, 18:55

Huggy

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RE: Lineare Abbildungen von Polynomen

Zitat:

Original von Enrico21
L ist jetzt die Abbildung, die das Polynom p auf die Funktion abbildet?
Das verwirrt mich:

L : p -> x->p(x)-xp'(x) ?

Also wie schreibt man die Abbildungsvorschrift auf? Wie kann man ein Polynom auf eine Funktion abbilden?

Man kann alles auf alles abbilden! Außerdem ist eine Polynom ja auch eine Funktion. Zumindest kann es so interpretiert werden Ein Polynom ist durch seine Koeffizienten definiert. Schreib doch mal auf, was $\begin{eqnarray*} L(a,b,c,d) \end{eqnarray*}$ ergibt.

20.05.2021, 19:01

Enrico21

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RE: Lineare Abbildungen von Polynomen
Mich wundert immer noch L(a,b,c,d) -> x

$\begin{eqnarray*} L(a,b,c,d) \rightarrow x \rightarrow a + bx + cx^{2} + dx^{3} - x\cdot(b+2cx+3dx^{2}) \end{eqnarray*}$

20.05.2021, 19:13

Huggy

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RE: Lineare Abbildungen von Polynomen

Zitat:

Original von Enrico21
Mich wundert immer noch L(a,b,c,d) -> x

Was soll das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Du hast doch hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} L(a,b,c,d) \rightarrow x \rightarrow a + bx + cx^{2} + dx^{3} - x\cdot(b+2cx+3dx^{2}) \end{eqnarray*}$

die Abbildung korrekt bestimmt, wenn du das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in der Mitte weg lässt. Du musst jetzt nur noch die Koeffizienten von gleichen Potenzen zusammenfassen. Danach hast du für

$\begin{eqnarray*} L(a,b,c,d)=(a',b',c',d') \end{eqnarray*}$

die Bildkoeffizienten $\begin{eqnarray*} (a',b',c',d') \end{eqnarray*}$ bestimmt.

20.05.2021, 20:06

Enrico21

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RE: Lineare Abbildungen von Polynomen
Danke.

In der Aufgabe steht:
L sei die Abbildung, die p auf die Funktion x->p(x)-xp'(x) abbildet.

Das verstehe ich so:
von p nach x->p(x)-xp'(x)
p -> x->p(x)-xp'(x)

Warum schreibt man denn nochmal x-> p(x)-xp'(x) und nicht einfach von p nach p(x)-xp'(x) ?

Das heißt ich lasse das "x->" einfach weg und fasse zusammen:
$\begin{eqnarray*} L(a,b,c,d) \rightarrow a-cx^{2}-2dx^{3} \end{eqnarray*}$

20.05.2021, 20:49

Huggy

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RE: Lineare Abbildungen von Polynomen

Zitat:

Original von Enrico21
In der Aufgabe steht:
L sei die Abbildung, die p auf die Funktion x->p(x)-xp'(x) abbildet.

Ja, das ist das Übel, wenn Formalismen Studenten den Inhalt verdecken. Mal etwas ausführlich: Was ist ein Polynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ von maximalem Grad 3? Eine Antwort könnte sein:

$\begin{eqnarray*} p: \, \mathbb R \to \mathbb R, \, x \to p(x)=a+bx+cx^2+dx3 \text { mit (a,b,c,d}) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Das ist hoffentlich formal korrekt, verknotet einem aber leicht das Gehirn. Da macht es einem die Schulmathematik einfacher. Die sagt einfach

$\begin{eqnarray*} p(x)=a+bx+cx^2+dx3 \end{eqnarray*}$

Wenn man die formale Schreibweise beibehält, bekommt man

$\begin{eqnarray*} L: p \to q, \, q(x)=p(x)-xp'(x) \end{eqnarray*}$

Und das kann man sicher noch viel ausführlicher schreiben, damit jeder Formalist zufrieden ist. Aber du weißt doch, was ein Polynom ist. Also lass dich durch übermäßigen Formalismus nicht vom Denken abhalten.

Zitat:

Das heißt ich lasse das "x->" einfach weg und fasse zusammen:
$\begin{eqnarray*} L(a,b,c,d) \rightarrow a-cx^{2}-2dx^{3} \end{eqnarray*}$

Ja, so kann man das machen. Und etwas Formalismus muss schon sein. Entweder beschreibt man das Polynom nur durch seine Koeffizienten, dann aber auf beiden Seiten. Oder man fügt die x-Potenzen hinzu, dann aber wiederum auf beiden Seiten.

21.05.2021, 08:32

klarsoweit

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RE: Lineare Abbildungen von Polynomen

Zitat:

Original von Enrico21
In der Aufgabe steht:
L sei die Abbildung, die p auf die Funktion x->p(x)-xp'(x) abbildet.

Ist das wirklich der exakte Wortlaut in der Aufgabe? verwirrt

21.05.2021, 09:19

Enrico21

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21.05.2021, 09:21

Enrico21

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RE: Lineare Abbildungen von Polynomen
L sei die (auf V definierte) Abbildung, die (das Polynom) $\begin{eqnarray*} p \in V \end{eqnarray*}$ auf die Funktion $\begin{eqnarray*} x \rightarrow p(x)-xp'(x) \end{eqnarray*}$ abbildet, [...]

wenn man die Klammern weglässt steht genau das da

zu Huggy:
Also ist es so formal richtig?:
$\begin{eqnarray*} L(a,bx,cx^{2},dx^{3}) \rightarrow a-cx^{2}-2dx^{3} \end{eqnarray*}$

21.05.2021, 09:35

Huggy

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RE: Lineare Abbildungen von Polynomen

Zitat:

Original von Enrico21
Also ist es so formal richtig?:
$\begin{eqnarray*} L(a,bx,cx^{2},dx^{3}) = a-cx^{2}-2dx^{3} \end{eqnarray*}$

Fast. Du musst auch auf der linken Seite die Rechenzeichen hinzufügen. Und du musst entscheiden ob du die Funktionschreibweise oder die Schreibweise mit dem Abbildungspfeil verwenden willst. Also entweder

$\begin{eqnarray*} L(a+bx+cx^{2}+dx^{3}) = a-cx^{2}-2dx^{3} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} L: \,a+bx+cx^{2}+dx^{3} \to a-cx^{2}-2dx^{3} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} L(a,b,c,d) = (a,0,-c,-2d) \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} L: \,(a,b,c,d) \to (a,0,-c,-2d) \end{eqnarray*}$

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