Spur einer Kurve

21.05.2021, 00:48	Mathilde_tidb	Auf diesen Beitrag antworten »
Spur einer Kurve Meine Frage: Es sei M /subseteq /mathbb {R} eine echte Teilmenge, deren Inneres nicht-leer ist. Weiter seien x_{0} ein innerer Punkt von M und x_{1} ein innerer Punkt von M^{c}.Zeigen Sie, dass die Spur jeder Kurve, die x_{0}, x_{1} als Anfangs- bzw. Endpunkt hat, den Rand /Delta M schneidet. Meine Ideen: Anschaulich ist mir das klar. Jedoch fehlt mir ein Ansatz, wie man zeigen soll, dass es einen solchen Schnittpunkt gibt. Ich wäre über einen Tipp sehr dankbar.
21.05.2021, 01:44	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir erscheint da eine Intervallschachtelung zielführend. Wenn $\begin{eqnarray} \gamma(t) \end{eqnarray}$ ein Weg mit $\begin{eqnarray} \gamma(0)=x_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma(1)=x_1 \end{eqnarray}$ ist, kannst du ja den Punkt $\begin{eqnarray} \gamma(1/2) \end{eqnarray}$ betrachten, der entweder im Inneren, auf dem Rand, oder im Inneren des Komplements der Menge liegt.
28.05.2021, 13:57	Melina00	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur einer Kurve Hey, ich hänge gerade an genau der gleichen Aufgabe. Hast du es geschafft sie zu lösen? Wenn ja, wäre es super lieb, wenn du mir helfen könntest )
28.05.2021, 20:56	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf dem Matheplaneten wurde die Aufgabe im Thread Die Spur jeder Kurve schneidet den Rand einen Tag später bereits besprochen. Da wurde ein Widerspruchsbeweis gegeben. Der Raum ist ja disjunkt zerlegt in das Innere, den Rand und das Äußere der Menge. Nun bildest du das Urbild des gesamten Raums unter der Kurve. Weil die Urbildoperation im Allgemeinen bezüglich der Vereinigung das Distributivgesetz erfüllt und paarweise disjunkte Mengen im Allgemeinen paarweise disjunkte Urbilder haben, ergibt sich somit eine disjunkte Zerlegung $\begin{eqnarray} \gamma^{-1}(\mathbb R^n) = \gamma^{-1}(\operatorname{int}(M))\cup\gamma^{-1}(\partial M)\cup \gamma^{-1}(\operatorname{ext}(M)). \end{eqnarray}$ Angenommen, die Spur von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ würden den Rand nicht schneiden, dann wäre $\begin{eqnarray} \gamma^{-1}(\partial M)=\emptyset \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ stetig ist, ist das Urbild einer offenen Menge wieder eine offene Menge. Das Innere und das Äußere sind jeweils nichtleer, weil sie beide nach Voraussetzung mindestens einen Punkt enthalten. Zudem sind diese Punkte Bildpunkte der Kurve, weshalb die Urbilder ebenfalls nichtleer sind. Somit ist $\begin{eqnarray} \gamma^{-1}(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ in zwei disjunkte nichtleere offene Mengen zerlegt. Nach Definition des Zusammenhangs ist $\begin{eqnarray} \gamma^{-1}(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ daher unzusammenhängend. Der Definitionsbereich der Kurve ist allerdings ein Intervall, womit sich ein Widerspruch ergibt. Alternativ kannst du mit meinem Ansatz einen konstruktiven Beweis bekommen, denke ich. Der Weg von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \gamma\colon [0,1]\to\mathbb R^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \gamma(0)=x_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma(1)=x_1 \end{eqnarray}$ . Nun machst du eine fortgesetzte Bisektion. Sei dazu $\begin{eqnarray} a_0:=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_0:=1 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} m:=\tfrac{1}{2}(a_k+b_k) \end{eqnarray}$ . Liegt $\begin{eqnarray} \gamma(m) \end{eqnarray}$ im Inneren, ist $\begin{eqnarray} [a_{k+1},b_{k+1}]=[m,b_k] \end{eqnarray}$ das nächste Intervall. Liegt $\begin{eqnarray} \gamma(m) \end{eqnarray}$ im Äußeren, ist $\begin{eqnarray} [a_{k+1},b_{k+1}]=[a_k,m] \end{eqnarray}$ das nächste Intervall. Liegt $\begin{eqnarray} \gamma(m) \end{eqnarray}$ auf dem Rand, ist ein Schnittpunkt gefunden und das Verfahren bricht ab. Betrachten wir also den Fall, in dem das Verfahren nicht abbricht. Es liegt eine Intervallschachtelung vor, womit die Folgen $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_k \end{eqnarray}$ gegen dieselbe Zahl $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ konvergieren. Weil $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ stetig ist, muss daher $\begin{eqnarray} \gamma(a_k)\to a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma(b_k)\to a \end{eqnarray}$ konvergieren. Daher besitzt jede Umgebung von $\begin{eqnarray} \gamma(a) \end{eqnarray}$ sowohl Punkte aus dem Inneren als auch Punkte aus dem Äußeren. Man kann zeigen, dass ein Punkt genau dann auf dem Rand liegt, wenn jede Umgebung des Punktes mindestens einen Punkt der Menge und einen Punkt aus dem Komplement der Menge enthält. Nun ist das Innere eine Teilmenge der Menge und das Äußere eine Teilmenge des Komplements. Daher muss $\begin{eqnarray} \gamma(a) \end{eqnarray}$ ein Randpunkt sein.

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