Sin[pix]-Sin[piy]=(y-x)*c

24.05.2021, 11:11	FG	Auf diesen Beitrag antworten »
*Sin[pix]-Sin[piy]=(y-x)c Meine Frage: Hallo, ich bin auf der Suche nach rationalen Paaren (x,y), die die o.g. Gleichung erfüllen, mit c als beliebiger Zahl zwischen 0 und pi. Es ist leicht, EINE Lösung zu finden da c (in Grenzen) beliebig ist. Ich möchte aber mindestens eine WEITERE haben, für dasselbe c. Dabei soll diese weitere Lösung nicht einfach das symmetrische Paar (y,x) oder (2n-y, 2n-x) oder (2n-x, 2n-y) sein (n natürlich), die die Gleichung offensichtlich auch erfüllen. Ich weiß, die Frage ist schwer. Auch ein Literaturtipp wäre schön. Gruß FG Meine Ideen:** Für bestimmte (x,y) ist Sin[pix]-Sin[piy] rational, z.B. ist Sin(pi3/10)-sin(pi1/10)=1/2, evtl. führt dieser Weg zu einer Lösung.
24.05.2021, 14:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Sin[pix]-Sin[piy]=(y-x)c** Wenn mich meine Intuition nicht trügt, hat deine Gleichung für jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ entweder 0,1 oder 2 Lösungen bzgl. $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ geben. Man könnte sich auf $\begin{eqnarray} x \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ begrenzen und dann mit $\begin{eqnarray} y =x+ (y-x) \end{eqnarray}$ kann man statt $\begin{eqnarray} y \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ auch äquivalent $\begin{eqnarray} y-x\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ fordern. D.h. du suchst Punkte $\begin{eqnarray} x, x + \delta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x,\delta \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \frac { f(x+\delta) - f(x) } { \delta } = c \end{eqnarray}$ erfüllt, wobei $\begin{eqnarray} f = -\sin \end{eqnarray}$ . Ich vermute mit Additionstheorem und Pythagoras bekommst du eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray} \sin(\delta) \end{eqnarray}$ . Dann bleibt nur noch die Frage: Gibt es ein rationales $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ , so dass dieser Wert getroffen wird.
24.05.2021, 16:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mal eine Ansicht der reellen Lösungen von $\begin{align} \sin(\pi x) - \sin(\pi y) = c \cdot (y-x) \end{align}$ für $\begin{align} c = 2 \end{align}$ [attach]53120[/attach] $\begin{align} c = 0{,}5 \end{align}$ [attach]53121[/attach] $\begin{align} c = 0{,}2 \end{align}$ [attach]53122[/attach] $\begin{align} c = 0{,}05 \end{align}$ [attach]53123[/attach] modulo Korrektheit meines CAS

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