Lagrange-Funktion bilden

24.05.2021, 20:30	mini1234321	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange-Funktion bilden Meine Frage: Anbei die Aufgabenstellung. Kann mir jemand evtl die Aufgabe vorrechnen? Ich komme nicht auf die lösung r1= 64 und r2= 100 Meine Ideen: mein Vorgehen habe ich hochgeladen es ist etwas dringend, deshalb bitte ich um schnelle Hilfe!
24.05.2021, 21:37	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a). Setze $\begin{eqnarray} g(r_1,r_2):=2\sqrt{r_1}+2\sqrt{r_2}-36 \end{eqnarray}$ . Die Nebenbedingung ist dann $\begin{eqnarray} g(r_1,r_2)=0 \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} \nabla f = \begin{pmatrix}\partial_1 f \\ \partial_2 f\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}100 \\ 80\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \nabla g = \begin{pmatrix}\partial_1 g \\ \partial_2 g\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r_1^{-1/2} \\ r_2^{-1/2}\end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Notwendiges Kriterium ist die Existenz eines $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \nabla f = \lambda\nabla g \end{eqnarray}$ . Gleichbedeutend damit ist $\begin{eqnarray} \nabla L=0 \end{eqnarray}$ mit Lagrange-Funktion $\begin{eqnarray} L(r_1,r_2,\lambda) := f(r_1,r_2)-\lambda g(r_1,r_2) \end{eqnarray}$ . Wir kommen zum Gleichungssystem $\begin{eqnarray} 100 = \frac{\lambda}{\sqrt{r_1}}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 80 = \frac{\lambda}{\sqrt{r_2}}. \end{eqnarray}$ Umstellen bringt $\begin{eqnarray} \lambda = 100\sqrt{r_1} = 80\sqrt{r_2} \end{eqnarray}$ . Die Nebenbedingung nun auf beiden Seiten mit 50 multiplizieren, macht $\begin{eqnarray} 100\sqrt{r_1} + 100\sqrt{r_2} = 1800. \end{eqnarray}$ Das bringt $\begin{eqnarray} 180\sqrt{r_2} = 1800 \end{eqnarray}$ , und somit $\begin{eqnarray} r_2 = 100 \end{eqnarray}$ .
24.05.2021, 21:37	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Langrange Funktion bilden Also $\begin{eqnarray} f(r_1,r_2)=100\, r_1+80\, r_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0=2\sqrt{r_1}+2\sqrt{r_2}-36 \end{eqnarray}$ ergibt für mich eine Lagrangefunktion von $\begin{eqnarray} L=100\, r_1+80\, r_2-\lambda \left(2\sqrt{r_1}+2\sqrt{r_2}-36\right) \end{eqnarray}$ .

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