Trigonometrische Identitäten bei Gleichungsumformung

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25.05.2021, 09:29	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Identitäten bei Gleichungsumformung Meine Frage: Meyberg & Vachenauer, Höhere Mathematik, Band 1, S. 131; Folgende Gleichungen lassen sich über Anwendung "trigonometrischer Identitäten" umformen. Ich komme aber nicht drauf, welche und in welcher Reihenfolge. Ganz ratlos macht mich das Auftauchen einer Quadratwurzel im Nenner der gesuchten Lösung. Hier die Formel: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} ( cos 3x - sin 3x) + \frac{3}{4} (cosx + sinx) =<br /> <br /> \frac{1}{2\sqrt{2} } ( 3 cos ( x - \frac{\pi }{4} ) - cos (3 ( x - \frac{\pi }{4} )) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich denke man muss versuchen entweder cos x in sin x umzuformen oder vice versa unter Nutzung folgender Umrechnungsformeln. Und dann muss man sinus "zum Verschwinden bringen" unter Nutzung der u.a. trigonometrischen Identität: $\begin{eqnarray} <br /> cos x = sin (x + \frac{\pi }{2} ) bzw.<br /> sin x = cos ( x - \frac{\pi }{2} )<br /> <br /> cos x + cos y = 2 cos \frac{x+y}{2} cos \frac{x-y}{2} \end{eqnarray}$
25.05.2021, 09:55	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Identitäten bei Gleichungsumformung Deine Ideen sind gut! Mach mal weiter. Viele Grüße Steffen
25.05.2021, 10:07	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Identitäten bei Gleichungsumformung Danke für die aufmunternden Worte, klappt aber einfach nicht so richtig. Irgendwo ist da ein Kniff dabei den ich (noch) nicht sehe. Und warum man am Schluss noch eine Quadratwurzel braucht will mir absolut nicht einleuchten. Könnten Sie / Kannst du mir einen weiteren kleinen Tipp geben?
25.05.2021, 10:31	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Identitäten bei Gleichungsumformung Dann nehmen wir mal diese beiden Zeilen: $\begin{eqnarray} \sin x = \cos \big( x - \frac{\pi }{2} \big) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \end{eqnarray}$ und wenden das beispielhaft auf diese Summe an: $\begin{eqnarray} \cos x + \sin x = \cos x + \cos \big( x - \frac{\pi }{2} \big) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 2 \cos \frac{x+\big( x - \frac{\pi }{2} \big)}{2} \cos \frac{x- \big( x - \frac{\pi }{2} \big)}{2} \end{eqnarray}$ Machst Du weiter? PS: Wir sind hier alle per Du.
25.05.2021, 10:51	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Identitäten bei Gleichungsumformung Danke, das ist aber der einfachere Teil der Formel. Mehr Kopfzerbrechen bereitet mir der linke Teil der Formel: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} ( cos 3 x - sin 3 x) \end{eqnarray}$ Die Formeln für cos 2x, cos 3x, cos 4x usw. haben es nämlich in sich und sind komplex. Außerdem habe ich da blöderweise $\begin{eqnarray} cos 3 x - cos (3 x - \frac{\pi }{2}) \end{eqnarray}$ , ich brauche aber keine Subtraktion sondern eine Addition um $\begin{eqnarray} 2 cos \frac{x+y}{2} cos \frac{x-y}{2} \end{eqnarray}$ anwenden zu dürfen - - bei einer Subtraktion habe ich nämlich unter Anwendung einer anderen hierfür geeigneten trigonometrischen Identitätsformel den Sinus leider wieder mit drin, und der soll ja raus. Bitte einen kleinen Tipp für den linken Teil der Formel, und dann lege ich am Wochenende nochmal los (Mathe mache ich meist nur am Wochenende). P.S. dass mit dem "du" geht klar, bin hier noch nicht so lange.
25.05.2021, 11:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach's umgekehrt. Die Idee ist, daß bei $\begin{align} \frac{\pi}{4} \end{align}$ Sinus und Cosinus wertgleich sind. Deshalb findet man mit dem Additionstheorem des Cosinus das Folgende: $\begin{align} \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \cos(\alpha) \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) - \sin(\alpha) \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos(\alpha) - \sin(\alpha) \right) \end{align}$ Und hier kannst du nach $\begin{align} \cos(\alpha) - \sin(\alpha) \end{align}$ auflösen und $\begin{align} \alpha = 3x \end{align}$ substituieren. Bei dir wird mit $\begin{align} -\frac{3}{4} \pi \end{align}$ statt $\begin{align} \frac{\pi}{4} \end{align}$ gearbeitet, aber das bekommst du vielleicht auch alleine hin.
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25.05.2021, 11:29	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Identitäten bei Gleichungsumformung Gut, dann kümmern wir uns mal um $\begin{eqnarray} \cos x - \cos y \end{eqnarray}$ . Wir setzen hilfsweise $\begin{eqnarray} x=a+b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=a-b \end{eqnarray}$ , dann steht da $\begin{eqnarray} = \cos (a+b) - \cos (a-b) \end{eqnarray}$ und das ist nach den Additionstheoremen $\begin{eqnarray} = ( \cos a \cos b - \sin a \sin b ) - ( \cos a \cos b + \sin a \sin b ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -2 \sin a \sin b \end{eqnarray}$ und da wegen oben gilt $\begin{eqnarray} a=\frac {x+y}2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=\frac {x-y}2 \end{eqnarray}$ , ist das $\begin{eqnarray} = -2 \sin \frac {x+y}2 \sin \frac {x-y}2 \end{eqnarray}$ .
25.05.2021, 11:35	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich versuch's am Wochenende nochmal richtig gründlich. Falls ich's doch nicht hinbekomme, gib ich kommenden Montag nochmal kurz Bescheid.
25.05.2021, 12:19	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Identitäten bei Gleichungsumformung Okay, ich geh doch gleich mal ran. Ich komme zu folgendem Zwischenergebnis: $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} ( cos (x - \frac{\pi }{4}) cos \frac{\pi }{4} )<br /> - \frac{1}{2} ( sin (3x - \frac{\pi }{4}) sin \frac{\pi }{4} ) \end{eqnarray}$ Nun würde ich die rechte Seite umstellen in Cosinus unter Nutzung von $\begin{eqnarray} sin x = cos (x - \frac{\pi }{2} ) \end{eqnarray}$ bzw. soll ich Leopolds Idee nutzen dass $\begin{eqnarray} sin \frac{\pi }{4} = cos \frac{\pi }{4} <br /> \end{eqnarray}$ und das rausfaktorisieren? und dann so weiter machen?
25.05.2021, 12:25	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Identitäten bei Gleichungsumformung Beides. Den Zahlenwert für $\begin{eqnarray} \sin \frac {\pi}4 = \cos \frac {\pi}4 = \dots \end{eqnarray}$ kannst Du dann gleich hinschreiben.
25.05.2021, 12:30	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Identitäten bei Gleichungsumformung Okay, ich glaub ich hab's gleich. Jetzt habe ich nämlich schon: $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} cos \frac{\pi }{4} ( cos x - \frac{\pi }{4} ) -<br /> \frac{1}{2} cos \frac{\pi }{4} ( cos 3 ( x - \frac{\pi }{4}))<br /> \end{eqnarray}$ Das ist schon verdammt nah dran an der Gleichung, wie sie am Schluss aussehen muss. Danke.
25.05.2021, 12:39	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Identitäten bei Gleichungsumformung Okay, ich glaub ich hab's gefunden. Die 3 muss in der linken Hälfte wieder rein, alles klar. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} sin \frac{\pi }{4} [ 3 cos ( x - \frac{\pi }{4} ) - cos (3 ( x - \frac{\pi }{4} )]<br /> \end{eqnarray}$ Das war's, danke euch beiden. Mal gucken wann ich bei Meyberg & Vachenauer das nächste Mal stecken bleibe - sind ja nur noch rund 300 Seiten. Ich melde mich dann wieder.
25.05.2021, 14:19	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Identitäten bei Gleichungsumformung Prima, und mit $\begin{eqnarray} \sin \frac{\pi }{4} = \frac 1 { \sqrt 2}<br /> \end{eqnarray}$ steht dann auch die Wurzel da.
25.05.2021, 16:29	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Identitäten bei Gleichungsumformung Ja, jetzt wurde mir klar wo die Wurzel her kommt $\begin{eqnarray} sin \frac{\pi }{4} = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} \sqrt{2} } = \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ Nochmals danke.

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