Affine Linearkombination

25.05.2021, 12:59

Reinersct

Affine Linearkombination

Meine Frage:
Guten Tag, ich beschäftige mich gerade mit einer Aufgabe bezüglich affiner Linearkombinationen und benötige einen kleinen Denkanstoß.
Die Aufgabe lautet:
zz: $\begin{eqnarray*} H\subseteq \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ affiner Unterraum <=> für $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_r \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{r}\lambda_i x_i \in H \end{eqnarray*}$
Also formal H affiner Unterraum, genau dann wenn auch alle affinen Linearkombinationen wieder in H liegen.

Meine Ideen:
Mit der Hinrichtung hat es gakleppt, allerdings benötige ich einen Denkanstoßt für die Rückrichtung:
Ich zeige also, dass aus $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{r}\lambda_i x_i \in H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{r}\lambda_i = 1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass H affiner Untterraum ist, das sich H also darstellen lässt als H = u+U, wobei $\begin{eqnarray*} U\subseteq \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ Unterraum.
Hier stehe ich auf dem Schlauch und komme nicht weiter. Ich bin für jede Hilfe dankbar!
LG smile

25.05.2021, 13:39

Elvis

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Die Behauptung musst du noch einmal sauber aufschreiben, sonst wird ein Beweis nicht möglich sein. Auf der rechten Seite oben fehlt die Angabe, woher die Koeffizienten zu nehmen sind, und die Punkte sollen vermutlich aus H sein. Weiter unten denkst du nicht an einen affinen Raum sondern an eine konvexe Hülle, wenn die Summe der Koeffizienten gleich 1 werden soll.

25.05.2021, 13:54

Reinersct

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Hallo, vielen Dank für die Antwort, die zu zeigende Aussage ist die Folgende
zz: $\begin{eqnarray*} H \subseteq \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ affiner Unterraum <=> für $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_r \in H \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{r}\lambda_ix_i \in H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_i \in \mathbb{R}, i \in \left \{ 1,...,r \right \} \end{eqnarray*}$
Formal gesprochen für die Rückrichtung:
Ich zeige, dass H ein affiner Unterraum ist, wenn für $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_r \in H \end{eqnarray*}$ alle affinen Linearkombinationen $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{r}\lambda_ix_i \end{eqnarray*}$ (dh. $\begin{eqnarray*} \sum_{i}^{}\lambda_i = 1 \end{eqnarray*}$ ) wieder in H liegen.
Außerdem verstehe ich nicht genau was Sie mit dem letzten Satz meinen, den Begriff konvexe Hülle haben wir nicht eingeführt (Nach Wiki: Die konvexe Hülle einer Teilmenge ist die kleinste konvexe Menge, die die Ausgangsmenge enthält)

LG

25.05.2021, 15:44

Elvis

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Die konvexe Hülle von 3 Punkten ist z.B. das Dreieck, das diese Punkte als Ecken hat. Das sind eben die Linearkombinationen, deren Koeffizientensumme gleich 1 ist.

Zu beweisen ist also, dass eine Teilmenge H genau dann ein affiner Teilraum ist, wenn H zu je endlich vielen Punkten deren konvexe Hülle enthält.

Das ist offensichtlich falsch, wie das Beispiel eines Dreiecks zeigt, denn ein Dreieck ist kein affiner Unterraum einer Ebene. Nur Punkte, Geraden und die Ebene selbst sind affine Unterraeume einer Ebene.

Beachte : Ein affiner Unterraum enthält alle Linearkombinationen seiner Elemente, nicht nur die konvexen Linearkombinationen. So ist es auch in der Aufgabe formuliert, und das kann man beweisen.

25.05.2021, 15:50

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
Die konvexe Hülle von 3 Punkten ist z.B. das Dreieck, das diese Punkte als Ecken hat. Das sind eben die Linearkombinationen, deren Koeffizientensumme gleich 1 ist.

Aber nur, wenn die Koeffizienten zusätzlich als positiv angenommen werden. Ansonsten bekommt man alle Punkte der Ebene, in der die drei Punkte liegen.
Dennoch ist die Aufgabe unklar. Mir scheint, da wurde nur der letzte Satz der Aufgabe herausgegriffen und die Einleitung unterschlagen.

25.05.2021, 16:06

Reinersct

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Danke für die Antworten.
Bezugnehmend auf die Aussage von Leopold es würde etwas fehlen, kann ich nur Folgendes sagen:
Die gesamte Aufgabe bezieht sich auf affin-lineare Transformationen der Form f(v) = Av+b mit invertierbarer, reeller nxn-Matrix A und n-dimensionalem, rellem Vektor b.

Teilaufgabe a) war es zu zeigen, dass gilt:
M c IR^n konvex => f(M) konvex (habe ich bewiesen)

Teilaufgabe b) war es zu zeigen, dass die Abbildung f alle affinen Linearkombinationen erhält, dass also für $\begin{eqnarray*} \lambda_i \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_{i}^{}\lambda_i = 1 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{r}\lambda_i\cdot f\left ( x_i \right ) = f\left ( \sum_{i=1}^{r}\lambda_i\cdot x_i \right ) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_r \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (habe ich ebenfalls bewiesen)

Teilaufgabe c) ist nun eben jene Aufgabe die ich gestellt habe, wobei ich dort wie gesagt die Hinrichtung schon gezeigt habe.

LG

25.05.2021, 16:35

Leopold

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Jetzt wäre noch die Frage, wie ihr einen affinen Unterraum $\begin{align*} H \end{align*}$ definiert habt. Vielleicht als $\begin{align*} H = a+U \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} U \end{align*}$ ein linearer Unterraum des $\begin{align*} \mathbb{R}^n \end{align*}$ und $\begin{align*} a \in \mathbb{R}^n \end{align*}$ ist? Oder wie sonst?

25.05.2021, 17:24

Reinersct

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Ja genau so haben wir es definiert, habe ich im ersten Beitrag oben in der Frage auch kurz angerissen.
Wie schließe ich jetzt allerdings die Rückrichtung. Ich schaue jetzt schon länger auf das Problem, allerdings sehe ich nichts. Bin eigentlich der Meinung das es ja nicht so schwierig sein kann, die Hinrichtung hat ja auch in 15 Minuten geklappt.
Ein kleiner Hinweis wäre sehr nett, vielleicht sehe ich ja den Wald vor lauter Bäumen nicht. smile

25.05.2021, 17:28

Leopold

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Ich nehme einmal an, daß wir $\begin{align*} H \neq \emptyset \end{align*}$ voraussetzen dürfen. Dann nimm ein beliebiges, aber fest gewähltes $\begin{align*} a \in H \end{align*}$ und setze

$\begin{align*} U = H-a \end{align*}$

Weise nach, daß $\begin{align*} U \end{align*}$ ein Untervektorraum des $\begin{align*} \mathbb{R}^n \end{align*}$ ist.

25.05.2021, 17:37

Reinersct

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Hallo, vielen Dank für die Antwort, ich habe mehrere Dinge:
1. Ja H nicht leer dürfen wir vorraussetzen
2. Auf diese Idee wäre ich nicht gekommen, allerdings auch nicht, weil ich nicht genau sehe warum ich dann am Ende fertig bin.
Ich vermute der Beweis des UVR's ist an sich nicht schwierig und verwendet meine Vorraussetzung das alle affine Linearkombinationen wieder in H sind.
Nun die Frage: Wieso bin ich dann am Ende, einfach weil ich dann weiß, dass U ein UVR ist und somit muss auch H ein UVR sein?
3. Wie sind Sie auf diese Idee gekommen, scheint ja doch recht "trivial" gewesen zu sein?

LG

25.05.2021, 17:52

Leopold

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Weil du dann $\begin{align*} H = a + U \end{align*}$ hast.

25.05.2021, 18:16

Reinersct

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Ja das ist klar, hatte ich ja auch angeschnitten mit meinem "weil U UVR ist..".
Nun bleibt noch die Frage wie Sie darauf gekommen sein, eher eine Allgemeinheit oder doch Erfahrung?
Wurmt mich das ich das nicht gesehen habe...

LG

25.05.2021, 18:51

Leopold

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So ganz verstehe ich deine Frage nicht. Du hast doch selbst gesagt, daß ihr einen affinen Unterraum $\begin{align*} H \end{align*}$ als $\begin{align*} H = a + U \end{align*}$ definiert habt. Daher wird man eine Darstellung $\begin{align*} a + U \end{align*}$ finden müssen, wenn man zeigen will, daß die rechte Seite deiner Äquivalenz einen affinen Unterraum bestimmt.

25.05.2021, 19:05

Reinersct

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Ja das habe ich gesagt, allerdings haben wir ja die Struktur U = H - a hergeleitet und beweisen das U ein UVR ist und wir dann darauf geschlossen haben, dass H = a + U ein affiner UVR.
Bin ja nicht darauf gekommen das wir uns U als U = H - a definieren und dann zeigen das U UVR ist.
Werde ich mir für die Zukunft aufjedenfall merken.
Vielen Dank für die Hilfe, der Beweis ist mir natürlich mittlerweile geglückt.

LG smile

25.05.2021, 19:16

Leopold

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Von $\begin{align*} H = a+U \end{align*}$ zu $\begin{align*} U = H-a \end{align*}$ ist es ja nur eine Äquivalenzumformung. Da $\begin{align*} H \end{align*}$ da ist und damit auch ein $\begin{align*} a \in H \end{align*}$ , beginnt man mit dem, was man hat, und schafft via $\begin{align*} H-a \end{align*}$ das, was man sucht.

Wie hast du den Beweis, daß $\begin{align*} U = H-a \end{align*}$ ein Untervektorraum ist, durchgeführt?

25.05.2021, 19:34

Reinersct

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Grob formuliert:
1. $\begin{eqnarray*} U \neq \varnothing \end{eqnarray*}$
Da U = H - a und H per Vorraussetzung nicht leer, folgt $\begin{eqnarray*} U \neq \varnothing \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} u_1+u_2 \in U \forall u_1,u_2 \in U \end{eqnarray*}$
Wähle $\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \in U \end{eqnarray*}$ und definiere diese $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ mithilfe der affinen Linearkombination (hier die Vorraussetzung genutzt) und gefolgert, dass $\begin{eqnarray*} u_1+u_2 \in U \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot u_1 \in U \forall u \in U , \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
Analog zu 2.

25.05.2021, 19:43

Leopold

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Zitat:

Original von Reinersct
2. $\begin{eqnarray*} u_1+u_2 \in U \forall u_1,u_2 \in U \end{eqnarray*}$
... und definiere diese $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ mithilfe der affinen Linearkombination (hier die Vorraussetzung genutzt)

Verstehe ich nicht. $\begin{align*} U \end{align*}$ ist als $\begin{align*} U = H-a \end{align*}$ definiert, daher mußt du diese Definition nutzen.

25.05.2021, 19:51

Reinersct

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Wir haben doch U = H-a definiert und nach Vorraussetzung gilt, $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_r \in H \end{eqnarray*}$ => alle affinen Linearkombinationen $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^r \lambda_ix_i \in H \end{eqnarray*}$ .
Wenn wir also ein $\begin{eqnarray*} u_1 \in U \end{eqnarray*}$ wählen und U = H - a ist, dann können wir doch $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ mittels der affinen Linearkombination und a darstellen oder nicht?
Das Selbe für $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ .

25.05.2021, 20:11

Leopold

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Du drückst dich unklar aus. Die entscheidenden Schritte der Argumentation läßt du weg. Aber genau auf die kommt es an.

Nehmen wir also $\begin{align*} u_1,u_2 \in U \end{align*}$ . Nach Definition von $\begin{align*} U \end{align*}$ gibt es $\begin{align*} h_1,h_2 \in H \end{align*}$ , so daß gilt:

$\begin{align*} u_1 = h_1 - a \, , \ \ u_2 = h_2 - a \end{align*}$

Und jetzt mußt du zeigen, daß auch $\begin{align*} u_1+u_2 \in U \end{align*}$ gilt. Nach Definition von $\begin{align*} U \end{align*}$ mußt du daher ein $\begin{align*} h' \in H \end{align*}$ finden mit

$\begin{align*} u_1 + u_2 = h' - a \end{align*}$

Dann ist der Beweis für dieses Unterraumkriterium erbracht.

25.05.2021, 20:29

Reinersct

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Das ist ja genau das was ich meine, ich gebe zu eine etwas unglückliche Ausdrucksweise.
Sie haben $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} u_1 = h_1 - a \end{eqnarray*}$ und ich habe gesagt "dann können wir doch $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ mittels der affinen Linearkombination und a darstellen..." und dieses $\begin{eqnarray*} h_1 \in H \end{eqnarray*}$ eben als jene affine Linearkombination darstellbar.

LG

25.05.2021, 21:34

Leopold

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Irgendwo stimmt da etwas nicht. Mal schreibst du $\begin{align*} x_1,x_2,\ldots,x_r \in \mathbb{R}^n \end{align*}$ , später $\begin{align*} x_1,x_2,\ldots,x_r \in H \end{align*}$ . Was gilt jetzt?

Nochmal von vorne. Ich habe das so verstanden. Zu beweisen ist die folgende Äquivalenz:

$\begin{align*} H \ \text{affiner Unterraum} \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{Für alle} \ x_1,x_2,\ldots,x_r \in H \ \text{und alle} \ \ \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_r \in \mathbb{R} \ \ \text{mit} \ \sum \lambda_i = 1 \ \ \text{gilt} \ \ \sum \lambda_i x_i \in H \end{align*}$

Ist das nun so oder nicht?

Wenn es so ist, dann ist $\begin{align*} H \end{align*}$ durch die Eigenschaft rechts von $\begin{align*} \Leftrightarrow \end{align*}$ gekennzeichnet. Und du mußt jetzt die Aussage links von $\begin{align*} \Leftrightarrow \end{align*}$ beweisen. Da ihr affine Unterräume in der Form $\begin{align*} a + U \end{align*}$ mit einem Untervektorraum $\begin{align*} U \end{align*}$ definiert habt, mußt du nun nachweisen, daß $\begin{align*} H \end{align*}$ von dieser Form ist.

Jetzt haben wir $\begin{align*} U = H-a \end{align*}$ definiert. Wenn du nachweisen kannst, daß $\begin{align*} U \end{align*}$ ein Untervektorraum ist, bist du fertig. Diesen Nachweis hast du noch nicht erbracht. Du mußt unter anderem zeigen, daß aus $\begin{align*} u_1,u_2 \in U \end{align*}$ folgt: $\begin{align*} u_1+u_2 \in U \end{align*}$ . Und das hast du noch nirgendwo gezeigt. Du redest immer nur davon, du habest etwas gezeigt. Das muß jetzt ein Ende haben. Ich will jetzt Formeln und Gleichungen sehen. Warum ist $\begin{align*} u_1+u_2 \in U \end{align*}$ ?

26.05.2021, 14:28

Reinersct

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Oh ich hatte gedacht es kommt keine Nachricht mehr von Ihnen gestern, deswegen melde ich mich "so spät". Wir haben etwas aneinander vorbei geredet, ich habe nicht gesagt ich hätte es im Forum bewiesen, sondern nur auf meinem Blatt und den Beweis nur angerissen im Forum.
Hier dann der gesamte Beweis:

Definiere $\begin{eqnarray*} U = H-a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} H \neq \varnothing, a \in H \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest.
Zeige: U ist UVR
1. $\begin{eqnarray*} U \neq \varnothing \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} U = h-a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \neq \varnothing \end{eqnarray*}$ per Vorraussetzung nicht leer, gilt: $\begin{eqnarray*} U \neq \varnothing \end{eqnarray*}$
Alternativ: $\begin{eqnarray*} U \neq \varnothing \end{eqnarray*}$ , da U = H - a und $\begin{eqnarray*} a \in H \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} u_1+u_2 \in U \forall u_1,u_2 \in U \end{eqnarray*}$ : Seien also $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \in U \end{eqnarray*}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray*} \exists h_1,h_2 \in H, a \in H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_1 = h_1-a , u_2 = h_2-a \end{eqnarray*}$
Ziel: finde $\begin{eqnarray*} h' \in H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_1+u_2 = h'-a \in H-a = U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 = h_1-a+h_2-a = (h_1+h_2-a)-a \end{eqnarray*}$
Definiere $\begin{eqnarray*} h':= h_1+h_2-a \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} u_1+u_2 = h'-a \in H-a = U \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} h_1+h_2-a \end{eqnarray*}$ eine affine Linearkombination von Vektoren in H ist, also in H liegen.
=> $\begin{eqnarray*} u_1+u_2 \in U \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot u \in U \forall u \in U, \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ : Seinen also $\begin{eqnarray*} u \in U, \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \exists h \in H, a \in H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u = h-a \end{eqnarray*}$
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot u = \lambda \cdot \left ( h-a \right ) \in H-a = U \end{eqnarray*}$ .
Also gilt $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot u \in U \end{eqnarray*}$

Insgesamt sind also alle UVR-Kriterien erfüllt, daher ist U ein UVR.
=> U = H-a <=> H = a+U ist affiner Unterraum.

So müsste es eigentlich stimmen denke ich!

26.05.2021, 14:52

Leopold

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2. überzeugt mich jetzt Freude

, 3. noch nicht unglücklich

. Auch da mußt du mit einer geeigneten affinen Linearkombination arbeiten, um ein passendes $\begin{align*} h' \end{align*}$ zu finden.

Kleiner Hinweis nebenbei: So schreibt man "Voraussetzung".

26.05.2021, 15:15

Reinersct

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Oh ja, ich sehe ich habe es ein paar mal falsch geschrieben, vielen Dank.
Zu 3.:
Evtl. ist mir eine Nullergänzung aufgefallen, man könnte es wie folgt schreiben:
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot u = (\lambda \cdot h - (\lambda - 1) \cdot a)-a = (\lambda h - \lambda a + a)-a \end{eqnarray*}$
Definiere $\begin{eqnarray*} h':= \lambda h - \lambda a + a \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot u = h' - a \in H - a = U \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} h':= \lambda h - \lambda a + a \end{eqnarray*}$ eine affine Linearkombination von Vektoren in H ist, also in H liegen.
=> $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot u \in U \end{eqnarray*}$

Hatte gedacht ich kann direkt folgern, allerdings wie Sie richtig sagen, brauche ich natürlich noch eine geeignete affine Linearkombination.

26.05.2021, 15:21

Leopold

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Jetzt stimmt alles. Freude

Das Ausmultiplizieren ist allerdings überflüssig. $\begin{align*} \lambda h - (\lambda-1) a \end{align*}$ ist eine affine Linearkombination von Elementen aus $\begin{align*} H \end{align*}$ , da $\begin{align*} \lambda + \left( - ( \lambda - 1) \right) = 1 \end{align*}$ ist.

26.05.2021, 15:26

Reinersct

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Vielen Dank für Ihre Bemühungen. Sollte ich in Zukunft nochmal eine Frage stellen, so werde ich mich in meinen Antworten präziser ausdrücken, damit es nicht zu solchen Missverständnissen kommt.
(Im Endeffekt gut, da ich noch den kleinen Fehler hatte, den sie richtigerweise bemängelt haben.)

Vielen Dank und einen schönen Tag noch! smile

28.05.2021, 14:19

partick

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Hallo Reinersct,

wir arbeiten aktuell an einer ähnlichen Aufgabe wie deine Teilaufgabe a und b. Könntest du uns kurz erklären, wie du das beweisen hast?

Danke dir und schöne Grüße,
Wink

Patrick

28.05.2021, 14:43

Leopold

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Lieber prictak, ob Reinersct hier nochmal vorbeischaut, wissen wir nicht. Daher drängle ich mich jetzt vor.

Mit a) könnt ihr folgendermaßen verfahren.

Für $\begin{align*} x \in \mathbb{R}^n \end{align*}$ sei $\begin{align*} f(x) = Ax+b \end{align*}$ , wie bei Reinersct beschrieben.
Sei nun $\begin{align*} M \end{align*}$ konvex (mit $\begin{align*} p,q \in M \end{align*}$ liegt also jeweils auch die Strecke von $\begin{align*} p \end{align*}$ nach $\begin{align*} q \end{align*}$ in $\begin{align*} M \end{align*}$ ). Zu zeigen ist die Konvexität von $\begin{align*} f(M) \end{align*}$ .

Man nimmt daher zwei beliebige Punkte von $\begin{align*} f(M) \end{align*}$ , etwa $\begin{align*} f(p) \end{align*}$ und $\begin{align*} f(q) \end{align*}$ mit $\begin{align*} p,q \in M \end{align*}$ . Die Punkte $\begin{align*} y \end{align*}$ der Strecke von $\begin{align*} f(p) \end{align*}$ nach $\begin{align*} f(q) \end{align*}$ sind von der Form

$\begin{align*} y = \lambda \, f(p) + \mu \, f(q) \ \ \text{mit} \ \ \lambda, \mu \geq 0 \ \ \text{und} \ \ \lambda + \mu = 1 \end{align*}$

Zu zeigen ist nun: $\begin{align*} y \in f(M) \end{align*}$ . Findet daher ein $\begin{align*} x \in M \end{align*}$ mit $\begin{align*} y = f(x) \end{align*}$ . Wie das $\begin{align*} x \end{align*}$ aussehen könnte, liegt nahe. Man hat es nur noch nachzurechnen.

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