Nichtlineares Gleichungssystem

26.05.2021, 11:00	CSR-Auto	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichtlineares Gleichungssystem Meine Frage: Guten Tag liebe Mitglieder, ich besuche neuerdings die Vorlesung Einführung in die Numerik und wir behandeln aktuell das Newton-Verfahren. Soweit verstehe ich auch alles, allerdings ist mir eine Sache bei folgender Aufgabe unklar: Gegeben ist das nichtlineare Gleichungssystem I $\begin{eqnarray} x+2y=3 \end{eqnarray}$ II $\begin{eqnarray} 4x+y^2=5 \end{eqnarray}$ Die Aufgabe lautet im Wortlaut: Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens mit Startwert $\begin{eqnarray} x_0 = (0,0) \end{eqnarray}$ eine Näherungslösung für die Lösung $\begin{eqnarray} x^ = (1,1) \end{eqnarray}$ derart, sd. der Fehler in der euklidischen Norm $\begin{eqnarray} \leq 25\cdot 10^{-2} = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ wird. Meine Ideen:* - Newton-Verfahren mit $\begin{eqnarray} x_{n+1} = x_n-\frac{f\left ( x_n \right )}{f'\left ( x_n \right )} \end{eqnarray}$ - Stelle also die Jacobi-Matrix mit den Funktionen $\begin{eqnarray} F_1(x,y) = x+2y-3, F_2(x,y) = 4x+y^2-5 \end{eqnarray}$ auf und führe das Newton-Verfahren für den Startwert durch. Nun meine Frage: Ist mit Näherungslösung und dem Fehler gemeint, dass ich solange an die Lösung ranitterieren soll, bis eben jener Fehler kleiner oder gleich $\begin{eqnarray} 25\cdot 10^{-2} = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ ist? Was ist außerdem mit dem Fehler gemeint? MFG
26.05.2021, 12:12	CSR-Auto	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin es jetzt nochmal durchgegangen und komme nach dem 2. Durchlauf des Newton-Verfahrens auf die Näherungslösung $\begin{eqnarray} \widetilde{x} = \binom{\frac{201}{200}}{\frac{399}{400}} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} \frac{201}{200} = 1.005 , \frac{399}{400} = 0.9975 \end{eqnarray}$ Dementsprechen vermute ich, dass mit Fehler die Abweichung von der exakten Lösung gemeint ist und die ist ja bei beiden Lösungen kleiner gleich (sogar echt kleiner) als 0.25 Ist das die Lösung der Aufgabe? MFG
26.05.2021, 12:24	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Fehler soll in der euklidischen Norm abgeschätzt werden, d.h. $\begin{eqnarray} \\|x^-\tilde x\\|_2 \leq \frac 1 4 \end{eqnarray}$ (). Jetzt musst du nur noch nachrechnen, ob $\begin{eqnarray} \sqrt{(1-1.005)^2+(1-0.9975)^2} \leq \frac 1 4 \end{eqnarray}$ gilt. Würde mich nicht wundern, wenn die Ungleichung (*) schon nach dem ersten Newtonschritt erfüllt wäre.
26.05.2021, 12:50	CSR-Auto	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja klar, hatte es in der Aufgabe geschrieben und dann vergessen, blöd von mir: Nach dem 1. Durchlauf hatte ich $\begin{eqnarray} \widetilde{x}=\binom{\frac{5}{4}}{\frac{7}{8}} \end{eqnarray}$ Dies ausgewertet in der euklidischen Norm gibt $\begin{eqnarray} \sqrt{\left ( 1-\frac{5}{4} \right )^2+\left ( 1-\frac{7}{8} \right )^2} = \frac{\sqrt{5}}{8} \approx 0.28 \end{eqnarray}$ also noch nicht ganz. Dementsprechend nach dem 2. Durchlauf auswerten ergibt: $\begin{eqnarray} \sqrt{\left ( 1-\frac{201}{200} \right )^2+\left ( 1-\frac{399}{400} \right )^2} = \frac{\sqrt{5}}{400} \approx 0.006 \end{eqnarray}$ , also offensichtlich kleiner gleich 0.25 Also ist meine Näherungslösung $\begin{eqnarray} \widetilde{x}=\binom{\frac{201}{200}}{\frac{399}{400}} \end{eqnarray}$ . So müsste es stimmen oder? MFG
26.05.2021, 13:21	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Näherung bekomme ich auch, bei der zweiten einen anderen Wert. Vermutlich habe ich mich verrechnet. Mit deinen Werten ist die Fehlerabschätzung richtig. Edit: Ja, hatte mich verrechnet. Deine Werte kann ich bestätigen.
26.05.2021, 13:29	CSR-Auto	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle und kompetente Hilfe!
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