z-Wert der N(0;1)-Standardverteilung

26.05.2021, 17:05

MMchen60

z-Wert der N(0;1)-Standardverteilung

Hallo liebe Forumsgemeinde,
in einem Professoren-Skript ist folgende Aufgabe gestellt:
Es ist die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Z \sim N(0;1) \end{eqnarray*}$ für folgende Quantile (Wahrscheinlichkeiten)
zu berechnen:
a) 25%-Quantil ( $\begin{eqnarray*} z_{0,25} \end{eqnarray*}$ )

Wegen der Symmetrie ist mir klar, dass $\begin{eqnarray*} z_{0,25}\;=\;-z_{0,75} \end{eqnarray*}$ ist.
Aber, womit bzw. mit Hilfe welcher Tabelle kommt man auf die Lösung -0,675?
Vielen Dank für Hilfe.

26.05.2021, 17:08

Steffen Bühler

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RE: z-Wert der N(0;1)-Standardverteilung
Mit der hier.

Viele Grüße
Steffen

26.05.2021, 17:27

MMchen60

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RE: z-Wert der N(0;1)-Standardverteilung

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Mit der hier.

Ja, danke, da war ich ja auch schon, ich finde da aber nirgendwo den Wert 0,675, deshalb habe ich die Frage hier ja gestellt.
Grüße
MMchen

26.05.2021, 17:34

Steffen Bühler

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RE: z-Wert der N(0;1)-Standardverteilung
So genau ist die Tabelle auch nicht. Aber Du kannst ihr entnehmen

$\begin{eqnarray*} \Phi(0,67)=0,74857 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \Phi(0,68)=0,75175 \end{eqnarray*}$

Und dann liegt die Wahrheit einigermaßen in der Mitte.

Wenn Du es genauer brauchst, nimm z.B. Excel. Die Funktion NORM.S.INV(0,75) gibt 0,67448975 zurück.

26.05.2021, 18:16

MMchen60

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RE: z-Wert der N(0;1)-Standardverteilung
Ja, Steffen, da war ich ja auch schon. Nur, in der Lösung des Profs steht da was ganz was anderes. Ich füge das mal als Image bei. Da soll man doch von $\begin{eqnarray*} z_{0,25} \end{eqnarray*}$ auf 0,675 kommen und nicht einfach $\begin{eqnarray*} \Phi(0,675) \end{eqnarray*}$ aus der Tabelle entnehmen. Mir fehlt einfach die Verbindung von $\begin{eqnarray*} z_{0,25} \end{eqnarray*}$ auf 0,675.

26.05.2021, 18:39

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RE: z-Wert der N(0;1)-Standardverteilung
Warum benutzt du nicht die Quantile, die auch auf der wikiseite stehen? verwirrt

26.05.2021, 20:17

Steffen Bühler

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RE: z-Wert der N(0;1)-Standardverteilung

Zitat:

Original von MMchen60
Da soll man doch von $\begin{eqnarray*} z_{0,25} \end{eqnarray*}$ auf 0,675 kommen und nicht einfach $\begin{eqnarray*} \Phi(0,675) \end{eqnarray*}$ aus der Tabelle entnehmen.

Nur so kommt man aber auf z=0,675. Man sucht den $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Wert für das gegebene $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ . So wird es auch erwartet. Was ist daran so schlimm?

27.05.2021, 07:59

MMchen60

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RE: z-Wert der N(0;1)-Standardverteilung

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Was ist daran so schlimm?

Dass die Aufgabenstellung des Profs in seiner Vorlesung eben die Frage ist, - so verstehe ich das wenigstens - welcher z-Wert gehört zum 25%-Quantil und aus dieser Frage heraus kein Phi-Wert abgeleitet werden soll, sondern ein z-Wert genannt werden soll. Mit anderen Worten: Wieso ist z = -0,675 im 25%-Quantil.
Gruß Meinolf

27.05.2021, 09:17

Steffen Bühler

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RE: z-Wert der N(0;1)-Standardverteilung
Weil das 25%-Quantil dem "linken Viertel" von der Fläche unter der Glockenkurve entspricht. So wie das 50%-Quantil der "linken Hälfte" der Glocke entspricht, denn die Hälfte der Werte ist kleiner als der Mittelwert, der ja an der Stelle z=0 liegt. Und unterhalb des 75%-Quantils sind drei Viertel der Kurvenfläche.

Da nun die Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ eben diese Fläche unterhalb der Glockenkurve von $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ beschreibt, kann man sie für jedes beliebige Quantil verwenden.

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