Kettenregel: partielle Ableitung vs. totale Ableitung

26.05.2021, 19:36	Archimedes_91	Auf diesen Beitrag antworten »
Kettenregel: partielle Ableitung vs. totale Ableitung Hallo zusammen, gilt die Kettenregel für $\begin{eqnarray} f(x,t), g(x,t) \end{eqnarray}$ und dem Spezialfall $\begin{eqnarray} f(x,t) = f(g(x,t)) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist nur eine Funktion von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , sowohl für das totale Differential, $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} g} \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x} \end{eqnarray}$ als auch für das partielle $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial g} \frac{\partial g}{\partial x} \end{eqnarray}$ ? Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial g} = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} g} \end{eqnarray}$ gelten muss. Vielen Dank. Gruß Archimedes_91
26.05.2021, 20:42	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachten wir einmal eine Funktion $\begin{eqnarray} g\colon\mathbb R^n\to\mathbb R \end{eqnarray}$ und eine reelle Funktion $\begin{eqnarray} \varphi\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ . Jetzt willst du wissen, wie man die partielle Ableitung von $\begin{eqnarray} \varphi\circ g \end{eqnarray}$ nach dem k-ten Argument bestimmt. Die partielle Ableitung nach dem k-ten Argument ist definiert als $\begin{eqnarray} \partial_k g(\mathbf x) := (g\circ\gamma)'(0), \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \gamma(t) := \mathbf x + t\mathbf e_k \end{eqnarray}$ die Parametergerade durch $\begin{eqnarray} \mathbf x \end{eqnarray}$ in Richtung des Basisvektors $\begin{eqnarray} \mathbf e_k \end{eqnarray}$ ist. Demzufolge erhalten wir $\begin{eqnarray} \partial_k(\varphi\circ g)(\mathbf x) = (\varphi\circ g\circ\gamma)'(0) = \varphi'(g(\gamma(0)))(g\circ\gamma)'(0) = \varphi'(g(\mathbf x))\partial_k g(\mathbf x) \end{eqnarray}$ gemäß der gewöhnlichen Kettenregel. In Kurzform ist das die Regel $\begin{eqnarray} \partial_k(\varphi\circ g) = (\varphi'\circ g)\partial_k g. \end{eqnarray}$ Für das totale Differential von $\begin{eqnarray} f=\varphi\circ g \end{eqnarray}$ bekommet man nun $\begin{eqnarray} \mathrm df = \sum_{k=1}^n \partial_k f\mathrm dx_k = \sum_{k=1}^n (\varphi'\circ g)\partial_k g\mathrm dx_k = (\varphi'\circ g)\sum_{k=1}^n\partial_k g\mathrm dx_k = (\varphi'\circ g)\mathrm dg. \end{eqnarray}$

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