Flächenberechnung Integralrechnung - stimmt die Formel?

28.05.2021, 12:23	betewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenberechnung Integralrechnung - stimmt die Formel? Hallo, ich lerne gerade für eine Prüfung. Bei einer Flächenberechnung käme ich auf die Lösung zur Erstellung einer Formel auf: $\begin{eqnarray} \int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx-\int_{x_{1}}^{x_{2}}g(x)dx \end{eqnarray}$ Die Lösung sieht jedoch so aus: $\begin{eqnarray} \int_{x_{1}}^{x_{2}}[f(x)dx-g(x)dx] \end{eqnarray}$ Ist meine Lösung falsch oder würde ich dafür den Punkt bekommen? Vielen Dank!
28.05.2021, 12:33	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenberechnung Integralrechnung - stimmt die Formel? Willkommen im Matheboard! Ob Du den Punkt bekommst, weiß ich nicht, aber in der Tat ist das Integral einer Differenz die Differenz der Integrale und umgekehrt: $\begin{eqnarray} \int\limits_{a}^{b}~ \big( f(x)-g(x) \big) ~dx = \int\limits_{a}^{b}~f(x)~dx - \int\limits_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray}$ Viele Grüße Steffen
28.05.2021, 12:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier soll wohl die Fläche zwischen den Graphen von $\begin{align} f \end{align}$ und $\begin{align} g \end{align}$ über dem Intervall $\begin{align} \left[ x_1,x_2 \right] \end{align}$ berechnet werden. Beim gewöhnlichen Flächenbegriff werden Flächeninhalte als nichtnegativ angenommen. Der Term $\begin{align} \text{(1)} \ \ \int_{x_1}^{x_2} f(x) ~ \dd x \ - \ \int_{x_1}^{x_2} g(x) ~ \dd x \end{align}$ berechnet daher den Flächeninhalt nur dann korrekt, wenn über dem ganzen Integrationsintervall $\begin{align} f(x) \geq g(x) \end{align}$ gilt (der Graph von $\begin{align} f \end{align}$ liegt also weiter oben als der von $\begin{align} g \end{align}$ ). Der Term $\begin{align} \text{(2)} \ \ \int_{x_1}^{x_2} \left( f(x) ~ \dd x - g(x) ~ \dd x \right) \end{align}$ ergibt sich aus $\begin{align} \text{(1)} \end{align}$ durch Anwendung der Additivität für das Integral. Üblicherweise wird allerdings das Differential $\begin{align} \dd x \end{align}$ nach hinten ausgeklammert, also so: $\begin{align} \text{(3)} \ \ \int_{x_1}^{x_2} \left( f(x) - g(x) \right) ~ \dd x \end{align}$ Die Formeln $\begin{align} \text{(1),(2),(3)} \end{align}$ besagen dasselbe.
28.05.2021, 12:38	betewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort! Im Nachhinein bin ich draufgekommen, dass ich einfach mal Zahlen hätte einsetzen können ... Vielen Dank!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »