Stetigkeit

28.05.2021, 18:49

Iphone

Stetigkeit

Wenn man zwei beliebige Funktionen k und t hat mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t(\lambda) \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn man nun $\begin{eqnarray*} \frac{k}{t} \end{eqnarray*}$ bildet, wenn $\begin{eqnarray*} \frac{k}{t} \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist also in lambda, gilt dann das k nicht stetig in Lambda ist oder t nicht stetig in lambda?

29.05.2021, 07:11

Iphone

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Hat echt keiner eine Idee?

29.05.2021, 07:27

Huggy

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RE: Stetigkeit
Das ist korrekt. Der Quotient zweier stetiger Funktionen ist stetig, wenn die Nennerfunktion nirgends Null wird.. Wenn also die Quotientenfunktion unstetig ist und die Nennerfunktion nirgends Nulls wird, muss die Zählerfunktion oder die Nennerfunktion unstetig sein.

29.05.2021, 07:36

Iphone

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Hey Huggy,

das habe ich auch so im Skript gelesen, dass wenn die Funktionen stetig sind, dass dann auch der Quotient stetig sein muss.

Aber was mein Problem ist, dass nicht vorausgesetzt wird, dass sie stetig sind, sondern das nur der Quotient stetig ist.

Angenommen die Quotientenfunktion wäre stetig in lambda, dann müssen beide stetig sein in lambda, alsoo t und k. Richtig? verwirrt

Und wenn die Quotientenfunktion differenzierbar in lamda ist, dann muss k und t auch in lamda differenzierbar sein oder?

Und wenn die Quotientenfunktion nicht differenzierbar wäre in Lambda, dann gilt auch die oder-Beziehung also k nicht differenzierbar in lambda oder t nicht differenzierbar in lambda Oder?

29.05.2021, 07:59

Huggy

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Zitat:

Original von Iphone
Angenommen die Quotientenfunktion wäre stetig in lambda, dann müssen beide stetig sein in lambda, alsoo t und k. Richtig? verwirrt

Das muss nicht sein. Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=1 \text { für } x<1 \text { und } f(x)=2 \text { für } x \geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac 1 2 \text { für } x<1 \text { und } g(x)=1 \text { für } x \geq 1 \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} h(x)= \frac {f(x)}{g(x)}=2 \end{eqnarray*}$

stetig, obwohl $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ beide unstetig sind.

Zitat:

Und wenn die Quotientenfunktion differenzierbar in lamda ist, dann muss k und t auch in lamda differenzierbar sein oder?

Da lassen sich wie bei der Stetigkeit sicher Gegenbeispiele konstruieren.

Zitat:

Und wenn die Quotientenfunktion nicht differenzierbar wäre in Lambda, dann gilt auch die oder-Beziehung also k nicht differenzierbar in lambda oder t nicht differenzierbar in lambda Oder?

Das ist richtig, vorausgesetzt die Nennerfunktion wird nirgends Null.

29.05.2021, 08:11

Iphone

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Ich habe es versucht zu beweisen, aber wo ist dann der Beweisfehler? verwirrt

Seien $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ beliebige Funktionen mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(b) \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann sind $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ stetig, wenn für $\begin{eqnarray*} \forall (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n \neq b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_\limits{n \to \infty} x_n = b \end{eqnarray*}$ , dann soll gelten: $\begin{eqnarray*} \lim_\limits{n \to \infty} \frac{f}{g}(x_n) = \frac{f}{g}(b) \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} \lim_\limits{n \to \infty} \frac{f}{g}(x_n) = \lim_\limits{n \to \infty} \frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \frac{f(b)}{f(a)} \end{eqnarray*}$ verwirrt

29.05.2021, 08:18

Iphone

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Sorry meine hier:
$\begin{eqnarray*} \lim_\limits{n \to \infty} \frac{f}{g}(x_n) = \lim_\limits{n \to \infty} \frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \frac{f(b)}{g(b)} \end{eqnarray*}$

29.05.2021, 08:29

Huggy

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Zitat:

Original von Iphone
Also: $\begin{eqnarray*} \lim_\limits{n \to \infty} \frac{f}{g}(x_n) = \lim_\limits{n \to \infty} \frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \frac{f(b)}{f(a)} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Die Notation wird klarer, wenn du $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)/g(x) \end{eqnarray*}$ setzt. Ansonsten sehe ich nicht, weshalb das etwas über die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aussagen sollte. Da taucht doch überall nur der Quotient auf.

Falls du glaubst einen Beweis zu haben, vergleiche ihn Schritt für Schritt mit meinem Gegenbeispiel. Dabei wird der Fehler im Beweis klar werden.

29.05.2021, 08:36

Iphone

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Aso ok, jetzt habe ich es verstanden.

Danke dir.

29.05.2021, 10:21

Leopold

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@ Iphone

Letztlich geht es hier um die Kontraposition und die Regel von de Morgan. Betrachte für Funktionen $\begin{align*} k,t \end{align*}$ mit $\begin{align*} t(\lambda) \neq 0 \end{align*}$ die folgenden Aussagen:

$\begin{align*} \mathcal{A}: k \ \text{ist stetig in} \ \lambda; \ \ \ \mathcal{B}: t \ \text{ist stetig in} \ \lambda; \ \ \ \mathcal{C}: \frac{k}{t} \ \text{ist stetig in} \ \lambda \end{align*}$

Es gilt der Satz:

$\begin{align*} \mathcal{A} \wedge \mathcal{B} \Rightarrow \mathcal{C} \end{align*}$

Seine Kontraposition (beide Seiten negieren, Pfeil umkehren oder Seiten vertauschen) ist:

$\begin{align*} \neg \mathcal{C} \Rightarrow \neg \left( \mathcal{A} \wedge \mathcal{B} \right) \end{align*}$

Die Regel von de Morgan (Negation einer "und"-Aussage) ergibt schließlich:

$\begin{align*} \neg \mathcal{C} \Rightarrow \neg \mathcal{A} \vee \neg \mathcal{B} \end{align*}$

Dein Problem war also strenggenommen keines der Analysis, sondern der Logik.

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