Term vereinfachen

29.05.2021, 16:50	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Term vereinfachen Meine Frage: Wenn $\begin{eqnarray} \frac{(x-1)(x+1){(x-2)}^{2}({e}^{3 x} - 1)}{x {(3-x)}^{3} {(x-1)}^{2} (x + 3)} \leq 0, \end{eqnarray}$ wie lautet dann die vollständige Lösungsmenge x Es sollte im Nenner x-1 in Klammern und dann hoch 2 sein. Also $\begin{eqnarray} {(x-1)}^{2} \end{eqnarray}$ und es war die vollständige Lösungsmenge für x gefragt. Das hatte ich noch im LaTex Tag ausversehen mit drine gehabt. Meine Ideen: Das einzige worauf ich gekommen bin war, das man x-1 im Zähler mit einem x-1 im Zähler kürzen kann. Weiter kam ich leider nicht. Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen Klammer ergänzt. IfindU Fragetext aus Latex rausgenommen. klauss
29.05.2021, 17:11	G290521	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Term vereinfachen x^2-1 = (x+1)(x-1) Das kann man rauskürzen. Der Bruch ist kleiner/gleich Null, wenn der Zähler >=0 und der Nenner <0 ist und umgekehrt. Der Nenner darf nicht Null werden. Bestimme zuerst den Definitionsbereich!
29.05.2021, 17:16	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann man denn x^2 - 1 mit dem Nenner kürzen? oder meinst du umschrieben?
29.05.2021, 19:03	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Term vereinfachen Wenn man aufwendige Rechnungen mit Fallunterscheidung vermeiden will, könnte man folgendermaßen rangehen: Untersucht wird der Verlauf des Graphen einer fast gebrochen-rationalen Funktion. Der Exponentialterm stört zunächst nicht weiter. Ich schreibe die Ungleichung bereinigt nochmal etwas anders: $\begin{eqnarray} -\frac{(x+1){(x-2)}^{2}({e}^{3 x} - 1)}{x {(x-3)}^{3} (x-1) (x + 3)} \leq 0 \end{eqnarray}$ Innerhalb des Definitionsbereichs ist die mutmaßliche Funktion stetig. Da alles bereits schön faktorisiert ist, können Vorzeichenwechsel (Vzw) im wesentlichen auftreten - an Nullstellen - an Polstellen Sämtliche Nullstellen von Zähler und Nenner kann man der Größe nach sortieren: $\begin{eqnarray} -3 \end{eqnarray}$ : Pol mit Vzw $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ : Nullstelle mit Vzw $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ : Nullstelle von Zähler und Nenner, aber nicht kürzbar $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ gesondert betrachten $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ : Pol mit Vzw $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ : Nullstelle ohne Vzw $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ : Pol mit Vzw Nun nehmen wir einen Startwert < -3 (z. B. -4) und berechnen das Vorzeichen des Gesamtterms an dieser Stelle. Dann klappern wir die kritischen Stellen in positiver Richtung der Reihe nach ab und überlegen an jeder Stelle, wie diese sich auf das Vorzeichen des Gesamtterms auswirkt. Bleibt nur noch die Überlegung, was bei x=0 passiert. Am Ende sollte eine Art Vorzeichentabelle stehen, aus der man die Lösungsmenge der Ungleichung ablesen kann.

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