Umkehrbare Funktionen

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Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrbare Funktionen
Hallo miteinander

Ich habe folgende Aussage gegeben und muss entscheiden, ob sie wahr oder falsch ist: "Eine nicht-bijektive Funktion ist nicht umkehrbar."

--> Diese Aussage ist im Allgemeinen korrekt, oder?
G290521 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrbare Funktionen
Es kommt oft auf den Definitionsbereich an, den man einschränken kann.

Beispiel: f(x) = x^2 ist in D nicht bijektiv.
Man kann f(x) auf D= R+ (mit 0) einschränken, dann ist f(x) umkehrbar.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das halte ich für großen Humbug. Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie bijektiv ist.
Man kann f(x)=x^2 auf den Definitionsbereich 0 einschränken, dort ist die Umkehrfunktion der Funktion g(0)=0 die Funktion h(0)=0. Welchen Sinn soll das haben ?
G290521 Auf diesen Beitrag antworten »

Wer sollte in diesem Kontext auf die Idee kommen, D auf Null einzuschränken.
Das wäre m.E. Humbug.
Ich denke, du weißt, worauf ich hinauswollte. verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Schwierig zu sagen. In der mengentheoretischen Auffassung des Funktionsbegriffs würde ich umkehrbar mit bijektiv gleichsetzen. Nicht bijektiv bedeutet dann konsequenterweise auch nicht umkehrbar.
Man kann aber auch gelegentlich einen anderen Standpunkt finden. Nehmen wir das Beispiel der Funktion



[attach]53132[/attach]

ist nicht surjektiv, folglich auch nicht bijektiv, im vorher genannten Sinn also nicht umkehrbar. Aber ist injektiv. Wenn man daher stillschweigend den Zielbereich der Funktion auf die tatsächlich vorkommenden Bilder einschränkt, also



betrachtet, dann ist das so verstandene umkehrbar:



Diese zweite Auffassung der Umkehrbarkeit, die man gelegentlich in der reellen Analysis antrifft, würde injektiv und umkehrbar identifizieren.

Du merkst, das ist nicht so eindeutig, wie du es gerne hättest. So bleibt dir nichts anderes übrig, als deine Unterlagen gut durchzusehen und den Standpunkt aus eurem Unterricht einzunehmen.
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Also darf ich zusammenfassen: Die Aussage ist im Allgemeinen falsch (oder?)

Durch Einschränkung des Definitionsbereichs z.B. könnte man die Aussage zu einer wahren machen, aber nur dann...

Stimmt das so?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

G290521 meint, dass man immer durch Einschränkung des Definitionsbereichs eine Funktion umkehrbar machen kann. Da hat er recht.
Leopold meint, dass man immer durch Einschränkung des Wertebereichs eine injektive Funktion umkehrbar machen kann. Da hat er recht.
Elvis meint, dass jede echte Einschränkung eine Funktion zu einer anderen Funktion macht, und deshalb nur eine bijektive Funktion umkehrbar ist. Da hat er recht.

Was meinst Du, Thomas007 ? Such dir eine Meinung aus !
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und Leopold meint auch noch, daß Thomas007 in seinen Unterlagen nachschauen soll, wie das alles festgelegt wird. Da hat er ganz besonders recht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Beginn meines Studiums haben sich meine Mathematikprofessoren darauf geeinigt, die mengentheoretisch begründete Definition für umkehrbare Funktionen zu benutzen, nach der genau die bijektiven Funktionen eine Umkehrfunktion haben, also umkehrbar sind. Diese Übereinkunft war sinnvoll, damit man nicht in jeder Stunde noch einmal erklären musste, was umkehrbar ist und was nicht. Brav wie ich immer war und immer sein werde, habe ich mich der Mehrheitsmeinung angeschlossen (so blöd kann man ja auch nicht sein, dass man als Studienanfänger drei Professoren widerspricht Gott Gott Gott ).
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