G-Modul und ZG-Modul

30.05.2021, 10:03

MaPalui

G-Modul und ZG-Modul

Hallo ihr lieben, schönen Sonntag smile

ich hänge an folgender Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe und sei $\begin{eqnarray*} \mathbb Z G :=\left\{\sum\limits_{g\in G}a_gg : a_g\in\mathbb Z\right\} \end{eqnarray*}$ der Gruppenring.

a)Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb Z G \end{eqnarray*}$ -Modul. Dann liefert $\begin{eqnarray*} gm :=(1g)m \end{eqnarray*}$ auf M die Struktur eines G-Moduls.
b) Sei M ein G-Modul. Dann liefert $\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{g\in G}a_gg)m := \sum\limits_{g\in G}a_g(gm) \end{eqnarray*}$ auf M die Struktur eines $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ G-Moduls.

Ich tue mir sehr schwer damit, zu begreifen, was nun zu tun ist.
a)Sei M ein ZG-Modul. Das heißt, $\begin{eqnarray*} (M,+) \end{eqnarray*}$ ist eine abelsche Gruppe und es gibt eine skalare Multiplikation $\begin{eqnarray*} \cdot : \mathbb Z G\times M\rightarrow M, (g,m)\mapsto g\cdot m \end{eqnarray*}$ , die ist distributiv in beiden Argumenten und es gibt ein Neutrales Element.
Zu zeigen ist doch dann jetzt, dass die Eigenschaften der skalaren Multiplikation erfüllt sind. Aber ich verstehe nicht, was $\begin{eqnarray*} 1g \end{eqnarray*}$ ist. Ich nehme an, es ist das neutrale Element der Multiplikation, also $\begin{eqnarray*} a_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und alle anderen sind null.
Aber ich müsste doch auch zeigen, dass es dieses Neutrale gibt und da beißt sich doch die Katze in den Schwanz, oder? unglücklich

30.05.2021, 18:44

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (a):
Gegeben sei die Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray*} \cdot: \mathbb Z G \times M \to M \end{eqnarray*}$ . Ich schreibe $\begin{eqnarray*} \odot:G \times M \to M, ~ (g,m) \mapsto (1g)\cdot m \end{eqnarray*}$ . (Es ist $\begin{eqnarray*} 1g \end{eqnarray*}$ das Element $\begin{eqnarray*} a^{(g)} \in \mathbb Z G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^{(g)}_h = \begin{cases} 1 & h=g \\ 0 & h \neq g \end{cases} \end{eqnarray*}$ .)

Zu prüfen ist
(i) $\begin{eqnarray*} e \odot m = m \end{eqnarray*}$ ,
(ii) $\begin{eqnarray*} g \odot (m+n) = g \odot m + g \odot n \end{eqnarray*}$ ,
(iii) $\begin{eqnarray*} (gh) \odot m = g \odot (h \odot m) \end{eqnarray*}$ ,
für $\begin{eqnarray*} g,h \in G, m,n \in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e \in G \end{eqnarray*}$ das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Wir haben $\begin{eqnarray*} g \odot m = (1g) \cdot m \end{eqnarray*}$ definiert und wissen, dass $\begin{eqnarray*} \cdot: \mathbb Z G \times M \to M \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \mathbb Z G \end{eqnarray*}$ -Modulstruktur definiert.

30.05.2021, 21:56

MaPalui

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zweiundvierzig,

vielen Dank für deine Zeit.

Mein Versuch zu (i) um zu sehen, ob ich auf dem richtigen Weg bin.
Es ist $\begin{eqnarray*} 1e = \sum\limits_{g\in G}a_gg \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_g = 1 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} g = e \end{eqnarray*}$ gilt, sonst null.
Also kann ich mir $\begin{eqnarray*} 1e \end{eqnarray*}$ vorstellen als $\begin{eqnarray*} 0\cdot g_1 + 0\cdot g_2 + \dots + 1\cdot e + 0\cdot\dots \end{eqnarray*}$ und damit ist dann $\begin{eqnarray*} e\odot m = (1e)m = e\cdot m = m \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} g_1, g_2, .. \end{eqnarray*}$ die Elementeder Gruppe sind.

30.05.2021, 22:46

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MaPalui
Es ist $\begin{eqnarray*} 1e = \sum\limits_{g\in G}a_gg \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_g = 1 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} g = e \end{eqnarray*}$ gilt, sonst null.

Richtig und dies ist auch die Eins in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z G \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von MaPalui
$\begin{eqnarray*} e\odot m = (1e)m = e\cdot m = m \end{eqnarray*}$

Der erste Schritt stimmt. Dann habe ich Probleme $\begin{eqnarray*} e \cdot m \end{eqnarray*}$ zu parsen. Wenn man $\begin{eqnarray*} (1e)m \end{eqnarray*}$ betrachtet, sollte man sich erinnern, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb ZG \end{eqnarray*}$ -Modul vorausgesetzt.

30.05.2021, 23:04

MaPalui

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir sehr für deine späte Hilfe. Morgen werde ich mich wieder damit auseinandersetzen und würde mich über Feedback freuen. Gute Nacht smile

30.05.2021, 23:04

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Sinn der Aufgabe ist es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ -Moduln und $\begin{eqnarray*} \mathbb ZG \end{eqnarray*}$ -Moduln einander entsprechen (genauer: die in der Aufgabe genannten Konstruktionen definieren eine Äquivalenz zwischen den entsprechenden Kategorien). Das gilt allgemeiner für beliebige Gruppen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , der Gruppenring wird dann entsprechend definiert als die endlichen formalen Summen.

Edit: Alles klar, gute Nacht. smile

31.05.2021, 16:48

MaPalui

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich habe mir das nochmal anders aufgeschrieben.
Sei $\begin{eqnarray*} G = \left\{g_1,g_2,\dots g_n\right\} \end{eqnarray*}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} \mathbb ZG = \left\{ \sum\limits_{i=1}^n a_ig_i, a_i\in\mathbb Z\right\} \end{eqnarray*}$ der Gruppenring.

a)
(i)
Es ist $\begin{eqnarray*} (1e) = \sum\limits_{i=0}^na_ig_i \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_i = 1 \Leftrightarrow g_i = e \end{eqnarray*}$ , sonst null.
$\begin{eqnarray*} e\odot m = (1e)m = (\sum\limits_{i=1}^na_ig_i)m = em = m \end{eqnarray*}$ .

(ii)
$\begin{eqnarray*} g\odot m(m_1 + m_2) = (1g)(m_1 + m_2) = (\sum\limits_{i=1}^na_ig_i)(m_1+m_2) = \sum\limits_{i=0}^na_ig_im_1 + \sum\limits_{i=0}^na_ig_im_2 = (1g)m_1 + (1g)m_2 \end{eqnarray*}$

(iii)
da weiß ich leider gar nicht weiter.

31.05.2021, 17:12

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei (i) ist das gleiche Problem wie zuvor. Was ist denn " $\begin{eqnarray*} em \end{eqnarray*}$ "? Wir versuchen ja erst zu ermitteln, auf welche Weise $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ -Modul ist.

Betrachte stattdessen $\begin{eqnarray*} (1e)m \end{eqnarray*}$ . Was weiß man hier unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb ZG \end{eqnarray*}$ -Modul ist?

Bei (ii): Am Anfang ist wohl ein Typo (?) ( $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gehört da nicht hin). Die "Zwischenschritte" mit den Summenzeichen würde ich streichen, da ich keinen Erkenntnisgewinn darin sehe. Stattdessen: Warum gilt $\begin{eqnarray*} (1g)(m_1 + m_2) = (1g)m_1 + (1g)m_2 \end{eqnarray*}$ ? Und was fehlt noch als letzter Schritt?

Zu (iii): Vielleicht ist es hier einfacher mit der rechten Seite meiner Gleichung anzufangen.

31.05.2021, 17:24

MaPalui

Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, also ich danke dir ja wirklich für deine Mühen, aber ich steige im Allgemeinen nicht mehr durch und werde aus dem Studium aussteigen. Respekt für alle die das machen, ich bin nicht die richtige dafür.

Danke für deine Zeit!

LG
Maren smile

01.06.2021, 20:32

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

@Maren: Schade. Hoffe du findest das Richtige für dich

Neue Frage »

Antworten »

G-Modul und ZG-Modul

Verwandte Themen