Spiegelungsmatrix bestimmen

30.05.2021, 22:13	mish	Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegelungsmatrix bestimmen Meine Frage: Könntet ihr mir ein Verfahren erklären, mit dem ich eine Spiegelungsmatrix bestimmen kann, die einen beliebigen Punkt an einer Ursprungsgeraden spiegelt? Meine Ideen: Kein Ansatz
30.05.2021, 23:00	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spiegelungsmatrix bestimmen Standardverfahren wäre die Bilder der Einheitsvektoren in eine Matrix aufzunehmen. (1,0)^T \|----> (0,1)^T \|---->
30.05.2021, 23:32	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagen wir, der Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ zeigt in Richtung der Gerade und $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist der Ortsvektor des Punktes. Die Projektion von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ auf die Gerade ist dann $\begin{eqnarray} P_v(p) = \frac{\langle p,v\rangle}{\langle v,v\rangle}v. \end{eqnarray}$ Ziehst du nun $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ davon ab, bekommst du den Verschiebungsvektor, der $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ orthogonal auf die Gerade schiebt. Das doppelte dieser Verschiebung ist der gewünschte Bildpunkt. Die Spiegelung erhält man demzufolge gemäß $\begin{eqnarray} S_v(p) := p + 2(P_v(p)-p) = 2P_v(p)-p. \end{eqnarray}$ Beachte dass $\begin{eqnarray} p\mapsto P_v(p) \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung ist. Du kannst leicht nachrechnen, dass auch $\begin{eqnarray} S_v \end{eqnarray}$ linear ist mit $\begin{eqnarray} S_v(\lambda a) = \lambda S_v(a), \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S_v(a+b) = S_v(a)+S_v(b). \end{eqnarray}$ Demnach ist $\begin{eqnarray} S_v \end{eqnarray}$ als Matrix darstellbar. Beachte dass die Spalten der Matrix immer die Bilder der Standardbasisvektoren sind. Das Ergebnis ist daher die Matrix $\begin{eqnarray} S_v = (S_v(\mathbf e_1),S_v(\mathbf e_2)). \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »