Isomorphismus und Gitter

31.05.2021, 06:16

Cauchyy

Isomorphismus und Gitter

Folgende Fragen:

1) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} M = \mathbb{Z}^{2}/\langle (-2,5) \rangle \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ -Modul isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist. $\begin{eqnarray*} \textit{Hinweis:} \end{eqnarray*}$ Finde einen Isomorphismus von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^{2} \end{eqnarray*}$ , der $\begin{eqnarray*} (-2,5) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ abbildet.

2) Es sei $\begin{eqnarray*} L \subseteq \mathbb{Z}^{n} \end{eqnarray*}$ ein Gitter, das von $\begin{eqnarray*} v_1,\cdots, v_n \end{eqnarray*}$ erzeugt wird. Charakterisiere den Rang von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ als Dimension eines zu $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ assoziierten Vektorraums.

Zu 1): Wenn ich mich nicht irre, dann lässt sich $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ja darstellen als $\begin{eqnarray*} M = \{(x,y) + \langle(-2,5)\rangle\ \ | \ (x,y) \in \mathbb{Z}^{2}\} = \{(x,y) + \langle(-2,5)\rangle\ \ | \ x = \{0,1\}, y \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$ , da man aufgrund des Spans von $\begin{eqnarray*} \langle (-2,5) \rangle \end{eqnarray*}$ eine der beiden Einträge des Punktes $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ so verändern kann, dass er sich immer in einem bestimmten Intervall bewegt (selbiges wäre also auch für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ möglich). Jetzt bin ich mir aber unschlüssig, wie ich hier weiterkomme bzw. einen Isomorphismus auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ finden kann...

Zu 2) Hier verunsichert mich bereits die Fragestellung. Was ein Gitter ist, weiß ich und auch, dass der Rang eines Gitters durch die Anzahl der Basiselemente bestimmt wird (in dem Fall also wäre der Rang gleich n). Ebenso ist mir bekannt, dass die Dimension eines Vektorraums durch die Anzahl der Elemente in einer beliebigen Basis bestimmt wird, sprich hier gibt es einen erkennbaren Zusammenhang zwischen diesen beiden Konzepten. Aber was genau wird nun von mir in dieser Aufgabenstellung verlangt?

31.05.2021, 08:41

Leopold

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Wenn man den Isomorphismus $\begin{align*} \mathbb{Z}^2 \overset{\varphi}{\rightarrow} \mathbb{Z}^2 \end{align*}$ hat, schiebt man die Projektion $\begin{align*} \pi \end{align*}$ auf die erste Koordinate hinterher: $\begin{align*} \mathbb{Z}^2 \overset{\varphi}{\rightarrow} \mathbb{Z}^2 \overset{\pi}{\rightarrow} \mathbb{Z} \end{align*}$

Dann gilt: $\begin{align*} \left( \pi \circ \varphi \right)(-2,5) = \pi(0,1) = 0 \end{align*}$ , so daß der Kern von $\begin{align*} \pi \circ \varphi \end{align*}$ gerade $\begin{align*} \left \langle (-2,5) \right \rangle \end{align*}$ ist. Der Homomorphiesatz liefert die gewünschte Isomorphie.

Jetzt muß man nur noch ein passendes $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ finden. Dieses wird durch eine geeignete zweireihige Matrix

$\begin{align*} P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{align*}$

mit Elementen $\begin{align*} a,b,c,d \in \mathbb{Z} \end{align*}$ bestimmt. Es soll

$\begin{align*} P \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

gelten. Das führt auf zwei lineare Gleichungen in $\begin{align*} a,b,c,d \end{align*}$ , die man so lösen muß, daß $\begin{align*} \det(P) = \pm 1 \end{align*}$ ist, was die Ganzzahligkeit der inversen Matrix garantiert. Ich bin kein Gitter-Experte, habe aber durch etwas Probieren mit Zahlen um die 0 herum bald eine Lösung gefunden gehabt.

31.05.2021, 11:33

Cauchyy

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Wow, danke dir. Die Antwort finde ich spitze und ist fast schon mehr als ich mir erwartet hatte!

Kannst du dir aber einen Reim auf den zweiten Unterpunkt machen? Was wäre denn ein zu $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ assoziierter Vektorraum beispielsweise?

31.05.2021, 12:34

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$\begin{eqnarray*} \sum a_iv_i=0 \end{eqnarray*}$ geht mit ganzzahligen $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn es mit rationalen geht

31.05.2021, 17:20

Cauchyy

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Zitat:

Original von URL
$\begin{eqnarray*} \sum a_iv_i=0 \end{eqnarray*}$ geht mit ganzzahligen $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn es mit rationalen geht

Erst einmal danke für deine Antwort. Könntest du das aber noch etwas genauer ausführen? Irgendwie hilft es mir leider nicht zu verstehen, was beim zweiten Unterpunkt genau gemeint ist.

31.05.2021, 18:45

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Wie ist Basis beim Gitter oder Vektorraum definiert?

01.06.2021, 15:13

Cauchyy

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Zitat:

Original von URL
Wie ist Basis beim Gitter oder Vektorraum definiert?

Beim Vektorraum: eine Teilmenge eines Vektorraums, dessen Span den gesamten Vektorraum aufspannt, d.h. jeder Punkt des Vektorraums ist als eindeutige Linearkombination der Basisvektoren darstellbar.

Beim Gitter: eine Menge linear unabhängiger Vektoren, deren $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ -Erzeugnis jeden einzelnen Gitterpunkt "treffen".

Ist jetzt etwas verkürzt hingeschrieben, aber so habe ich das im Kopf. Wie könnte mir das jetzt weiterhelfen?

01.06.2021, 20:07

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Die Betonung liegt auf eindeutiger Darstellung. Insbesondere hat der Nullvektor eine eindeutige Darstellung, bei der alle Koeffizienten null sind. Gibt es eine andere Darstellung, hat man keine basis. wenn es eine andere Darstellung mit rationalen Koeffizienten gibt, dann auch eine mit ganzzahligen. Also kann man den Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^n \end{eqnarray*}$ über den rationalen Zahlen nehmen.

01.06.2021, 20:47

Cauchyy

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Ok, das hätte ich verstanden. Das heißt dann, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}^{n} \end{eqnarray*}$ ein zu $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ assozierter Vektorraum wäre. Die Dimension von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}^{n} \end{eqnarray*}$ wäre dann n. Wie könnte ich jetzt aber den Rang von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ damit "charakterisieren"? Ich tue mich schwer, das genau zu verstehen.

01.06.2021, 21:08

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Die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,\ldots ,v_n \end{eqnarray*}$ erzeugen doch einen Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^n \end{eqnarray*}$ und um dessen Dimension geht es. Und nein, diese Dimension ist nicht unbedingt n, nur weil es n Vektoren sind, die den Unterraum erzeugen.

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