Orthonormalbasis einer reellen symmetrischen Matrix

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31.05.2021, 12:31	DerHelleWahnsinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis einer reellen symmetrischen Matrix Meine Frage: Guten Tag zusammen, ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe, welche etwas undeutlich formuliert ist. Gegeben sei die Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix}<br /> -1 &3 \\ <br /> 3&-1 <br /> \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray}$ Aufgabe: Zeigen Sie, dass es eine Orthonormalbasis (ONB) des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray}$ , bestehend aus Eigenvektoren, von A gibt. Meine Ideen: Soweit so gut: Ich weiß, dass A diagonalisierbar ist, denn jede reelle, symmetrische 2x2 Matrix ist diagonalisierbar. Die Eigenvektoren der Matrix A sind $\begin{eqnarray} v_1 = \binom{-1}{1}, v_2 = \binom{1}{1} \in \mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} B:= \left \{ v_1 ,v_2 \right \} \end{eqnarray}$ ist offensichtlich Basis, sogar Orthogonalbasis, da $\begin{eqnarray} <v_1, v_2> = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Nun gilt nach dem Satz von Gram-Schmidt: Es ex. ONB $\begin{eqnarray} B':= \left \{ w_1 ,w_2 \right \} \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray}$ , sd. gilt: $\begin{eqnarray} span\left ( v_1, v_2 \right ) = span\left ( w_1, w_2 \right ) \end{eqnarray}$ Muss ich jetzt einfach meine Basis B zu einer ONB B' mittels Gram-Schmidt-Verfahren erweitern um die Aufgabe zu lösen? Weil Basis B ist offensichtlich keine ONB, da bsp. gilt: $\begin{eqnarray} \left \\| v_1 \right \\| = \sqrt{2} \neq 1 \end{eqnarray}$ LG
31.05.2021, 12:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormalbasis eine reellen, symmetrischen Matrix Orthogonal sind sie schon, normieren reicht also aus.
31.05.2021, 12:52	DerHelleWahnsinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke. Das mit der Orthogonalität hatte ich ja auch geschrieben. Dann bilde ich mit $\begin{eqnarray} w_1 := \|\|v_1\|\| , w_2:= \|\|v_2\|\| \end{eqnarray}$ also eine ONB B':= { $\begin{eqnarray} w_1, w_2 \end{eqnarray}$ }. Vielen Dank für die schnelle Hilfe! LG
31.05.2021, 13:30	DerHelleWahnsinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Norm ist natürlich hier falsch, es müsste $\begin{eqnarray} w_1:= \frac{v_1}{\|\|v_1\|\|}, w_2:= \frac{v_2}{\|\|v_2\|\|} \end{eqnarray}$ heißen.
31.05.2021, 15:30	DerHelleWahnsinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoffentlich sehen Sie diesen Beitrag hier noch: Ich sollte in einer weiteren Aufgabe auch noch die Operatornorm der Matrix A bestimmen, bezüglich der Euklidischen Norm des IR^2, sowohl im Bildraum, als auch im Urbildraum. Hab da $\begin{eqnarray} \left \\| A \right \\|_{OP} = 4 \end{eqnarray}$ heraus, stimmt das? LG
31.05.2021, 17:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss das Maximum der Beträge der Eigenwerte sein
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01.06.2021, 08:32	DerHelleWahnsinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, dann stimmt es ja, Eigenwerte sind -4 und 2, also im Betrag 4 und 2, also das Maximum 4. Nur warum ist dem so? Wir haben die Operatornorm $\begin{eqnarray} \left \\| A \right \\|_{OP} = \frac{max}{\left \\| v \right \\|_2 =1}\left \\| Av \right \\|_2 \end{eqnarray}$ so definiert, für schon eingesetzte Bildraum und Urbildraum Norm (nicht verwundern lassen von dem Bruch mit dem Maximum, eine bessere Schreibweise habe ich nicht gefunden). Dann habe ich ein $\begin{eqnarray} v = \binom{v_1}{v_2} \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ hergenommen und da $\begin{eqnarray} \left \\| v \right \\| = 1 \Rightarrow v = \binom{cos\varphi }{sin\varphi }, \varphi \in \left [ 0,2\pi \right ] \end{eqnarray}$ . Die Matrix A multipliziert mit dem Vektor v in der euklidischen Norm ergab dann $\begin{eqnarray} \sqrt{10-6sin\left ( 2\varphi \right )} \end{eqnarray}$ . Frage wann ist das maximal? Für $\begin{eqnarray} \varphi = \frac{3}{4}\pi \end{eqnarray}$ hat sin ein Minimum bei -1 und daher bekomme ich dann $\begin{eqnarray} max\left \{ \sqrt{10-6sin\left ( 2\varphi \right )} \right \} = \sqrt{10-6\cdot (-1)} = \sqrt{16} = 4 \end{eqnarray}$ . Wieso stimmt das allerdings mit Ihrer Aussage überein? Davon haben wir in der Vorlseung nicht geredet, sonst wäre die Aufgabe ja auch trivial gewesen.
01.06.2021, 20:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt dann sicher noch in der Vorlesung Man kann aber sehr leicht zeigen, dass für jeden Eigenwert a der Matrix A zumindest die Abschätzung $\begin{eqnarray} \|a\|\leq \\|A\\| \end{eqnarray}$ gilt.
02.06.2021, 08:50	DerHelleWahnsinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen Dank für die Hilfe. LG

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