Gleichung als Funktion der Zeit herleiten

31.05.2021, 19:26	omgwhynot0	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung als Funktion der Zeit herleiten Meine Frage: In einen Raum mit 100m² Oberfläche und 60m³ Volumen dringt konstant über Diffusion Radon-222 mit einer Eindringrate von 1 Bq/(m².h) ein, gleichzeitig zerfällt Radon-222 mit einer Halbwertszeit von 3,825 Tagen. Die Differentialgleichung für die Änderung der Aktivitätskonzentration im Raum, bei Vernachlässigung des Einflusses durch Lüftung, lautet daher: dA/dt = phiF - lambdaA A Aktivitätsmenge in Bq phi Eindringrate pro Fläche. = 1 Bq/(m².h) F Exhalierende Fläche, 100m² lambda Zerfallskonstante des Radon. lambda =ln(2)/t1/2; t1/2 = 3.825 Tage Gesucht sind a) Gleichung für die Aktivitätsmenge als Funktion der Zeit b) Wie hoch ist die Maximalkonzentration im Raum Meine Ideen: Also ich weiß, dass ich die angegebene DGL integrieren muss nur weiß ich leider nicht wie ich genau vorgehen sollte. Ich wäre für jede Hilfe sehr dankbar
01.06.2021, 15:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast dich noch nicht zu deinem andern Thread gemeldet. mY+
01.06.2021, 16:02	omgwhynot0	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mYthos irgendwie komme ich in den anderen Account nicht mehr rein und kann deswegen nicht antworten. Aber deine Hilfe war seeeeeeeehr hilfreich und bedanke mich noch nachträglich dafür. Willkommen im Matheboard! Dein anderer Account wurde gelöscht, mehrere Accounts sind im Board nicht zulässig. Du kannst mit Deinem jetzigen Account aber problemlos im Thread weiterschreiben. Viele Grüße Steffen
01.06.2021, 22:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die angegebene Differentialgleichung hat die Gestalt einer linearen gewöhnlichen DiffGl. 1. Ordnung. Diese ist mittels Trennung der Variablen aufzulösen und eine allfällige Konstante mittels AWP (Anfangswertproblem) zu berechnen: $\begin{eqnarray} A'(t) = b - \lambda A \ (b = \phi \cdot F) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dd A = b \dd t - \lambda A \dd t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dd A = (b - \lambda A) \cdot \dd t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\dd A}{b - \lambda A} = \dd t \end{eqnarray}$ Damit hast du die Variablen getrennt und kannst beidseitig integrieren. Beachte die Integrationskonstante! Hinweise: (1) $\begin{eqnarray} \int \frac {\dd x} {a - bx} = -\frac 1 b \cdot \ln \|a - bx\| \end{eqnarray}$ (mittels Substitution) (2) Die Logarithmengleichung ist dann mit der Basis e hoch zu nehmen. (3) In der Lösungsfunktion ist eine allgemeine Konstante enthalten, die mittels Anfangsbedingung zu bestimmen ist. mY+

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