Matrix zum Spiegeln

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Matrix zum Spiegeln
Meine Frage:
Warum kann folgende Matrix zum Spiegeln an einer Geraden verwendet werden?
\begin{pmatrix} cos(\alpha ) & sin(\alpha ) \\ sin(\alpha ) & - cos(\alpha ) \end{pmatrix}

Meine Ideen:
keine
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der vorangegangenen Diskussion geht hervor, dass



die Spiegelungsmatrix für eine Spiegelung an der Ursprungsgeraden in Richtung des Vektors ist. Setzt man nun ein, ist und es ergibt sich



unter Nutzung der Doppelwinkelformeln. Demnach ist . Das heißt, wenn einmal um 180° gedreht wird, grast das bei den Spiegelungen den gesamten Vollkreis ab. Das muss auch so sein, weil es für die Spiegelung keine Rolle spielt ob man oder nimmt.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ein paar kleine Spitzfindigkeiten noch. Für eine Spiegelungsmatrix gilt , was bedeutet dass die Orientierung umkehrt. Außerdem ist und , was bedeutet dass selbstinvers und orthogonal ist. Und du hast die Zerlegung



wobei die Spiegelung an der x-Achse ist und die Rotationsmatrix für eine Rotation um gegen den Uhrzeigersinn, also im Uhrzeigersinn.
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