Beweis zur Dedekind-Unendlichkeit

31.05.2021, 23:44	Pippen	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zur Dedekind-Unendlichkeit Ich bin gerade an dieser Stelle in Deisers Mengenlehre und habe mir einen Beweis von Deiser aufgeschrieben und etwas erläutert (es ist dort der dritte Beweis, wo es darum geht, dass eine unendliche Menge durch Wegnahme eines Elements nicht endlich wird), damit ich ihn verstehe. Was haltet ihr von „meiner Version“; ist das in Ordnung? [attach]53137[/attach] Das ganze Ding habe ich auch bei stackexchange online gestellt, für alle, die keine Handschriften entziffern wollen: https://math.stackexchange.com/q/4155497
01.06.2021, 12:42	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zur Dedekind-Unendlichkeit Dein Beweis ist nach meiner unmaßgeblichen Meinung korrekt. Aber du beweist nicht dasselbe, was Deiser beweist. Es gibt da einen subtilen, aber wichtigen Unterschied. Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine gemäß der Dedekindschen Definition unendliche Menge, d.h. es gibt eine echte Teilmenge $\begin{eqnarray} A' \subset A \end{eqnarray}$ , die sich bijektiv auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ abbilden lässt. Du beweist nun, es gibt mindestens ein Element $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ , das man aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ entfernen kann und $\begin{eqnarray} A \backslash \{a\} \end{eqnarray}$ ist noch immer eine unendliche Menge. Für dieses Element $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} a \in A \backslash A' \end{eqnarray}$ . Es existiert, weil $\begin{eqnarray} A' \end{eqnarray}$ eine echte Teilmenge von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist und somit $\begin{eqnarray} A \backslash A' \neq \emptyset \end{eqnarray}$ . Deiser beweist dagegen, man kann ein beliebiges Element $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ entfernen und $\begin{eqnarray} A \backslash \{a \} \end{eqnarray}$ ist noch immer eine unendliche Menge.
01.06.2021, 19:24	Pippen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zur Dedekind-Unendlichkeit Du hast recht. Ich müsste also am Ende meines Beweises noch dranhängen: \|A\a\| = \|A\x\|, wobei x ein beliebiges Element aus A. Das dürfte trivial sein, jedenfalls leuchtet es mir ein und Deiser begründet da auch nichts. Jetzt darf auch ich folgern, dass die Reduktion einer dedekind-infiniten Menge A um ein beliebiges Element x nichts an ihrer Unendlichkeit ändert. Zum Glück, ich hatte schon Angst, ich müsse meinen ganzen Beweis komplett umarbeiten.

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