Funktionale Komposition

01.06.2021, 09:12	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionale Komposition Gegeben sei $\begin{eqnarray} f(x):=ax \end{eqnarray}$ . Die zweite Iterierte ist $\begin{eqnarray} f^2(x)=f(f(x))=a^2 x \end{eqnarray}$ . Die n-te Iterierte ist entsprechend $\begin{eqnarray} f^n(x)=a^n x \end{eqnarray}$ . Addition und Skalarmultiplikation von Funktionen sei punktweise definiert, das heißt $\begin{eqnarray} (f+g)(x) := f(x)+g(x), \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\lambda f)(x) :=\lambda\cdot (f(x)). \end{eqnarray}$ Nun können wir $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in ein Polynom $\begin{eqnarray} p(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^k \end{eqnarray}$ einsetzen und erhalten $\begin{eqnarray} p(f)(x) = (\sum_{k=0}^n a_k f^k)(x) = \sum_{k=0}^n a_k f^k(x) = \sum_{k=0}^n a_k a^k x = p(a)x. \end{eqnarray}$ Dieser Zusammenhang sollte auch stimmen, wenn $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine Potenzreihe oder eine allgemeine Funktion ist. Ich möchte dieses Konzept die p-funktionale Komposition von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nennen. Die halbe Iterierte erhält man bspw. für $\begin{eqnarray} p(f):=f^{1/2} \end{eqnarray}$ , was stimmt, denn $\begin{eqnarray} f^{1/2}(f^{1/2}(x)) = a^{1/2}(a^{1/2}x)= ax = f(x). \end{eqnarray}$ Von welcher Gestalt ist die p-funktionale Komposition der Funktion $\begin{eqnarray} f(x):=ax+b \end{eqnarray}$ ?
02.06.2021, 10:24	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Iteration entsteht für $\begin{eqnarray} a\ne 1 \end{eqnarray}$ die Summe einer geometrische Folge und man erhält $\begin{eqnarray} f^k(x) = a^k x + \frac{a^k-1}{a-1}b \end{eqnarray}$ Nun kann man ja rechnen $\begin{eqnarray} p(f)(x) = \sum_k a_k f^k(x) = \sum_k (a_k a^k x + a_k\frac{a^k-1}{a-1}b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_k a_k a^k x + \frac{b}{a-1}(\sum_k a_k a^k - \sum_k a_k) = p(a)x+\frac{b}{a-1}(p(a)-p(1)). \end{eqnarray}$ Wir gelangen zum Resultat $\begin{eqnarray} p(f)(x) = p(a)x+\frac{p(a)-p(1)}{a-1}b. \end{eqnarray}$ Ergibt das einen Sinn? Nehmen wir $\begin{eqnarray} p(f)=\sqrt{f} \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} p(f)\circ p(f)=f \end{eqnarray}$ , wie gewünscht. Für $\begin{eqnarray} p(f)=f^{-1} \end{eqnarray}$ bekommt man $\begin{eqnarray} p(f)(x) = \frac{1}{a}x-\frac{b}{a}, \end{eqnarray}$ die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , wie gewünscht. Verblüffend. In homogenen Koordinaten ist die Funktion als lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}y \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ beschrieben. Auf diese Weise konnte ich unter Anwendung der Theorie der Matrixfunktionen entdecken, dass $\begin{eqnarray} p(1)=1 \end{eqnarray}$ gelten sollte. Für ein invertierbares $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist nun $\begin{eqnarray} p^{-1}(p(f))(x) = ax + \frac{a-p^{-1}(1)}{p(a)-1}\cdot\frac{p(a)-p(1)}{a-1}b, \end{eqnarray}$ was sich für $\begin{eqnarray} p(1)=1 \end{eqnarray}$ in der Tat zu $\begin{eqnarray} ax+b \end{eqnarray}$ reduziert.

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