Schnittgerade zweier Ebenen Herleitung

01.06.2021, 12:07

Rillodos

Schnittgerade zweier Ebenen Herleitung

Meine Frage:
Hallo zusammen, wir beschäftigen uns in unserer LA2 aktuell mit Hyperebenen und dort kommt mir vieles bekannt vor aus der Schule.
Genau geht es um die Schnittgerade zweier nicht paralleler, affiner Ebenen.
Nun hat man in der Schule immer Schema x durchgerechnet, wobei man, grob gesagt, einen Stützvektor und einen Richtungsvektor für die Schnittgerade berechnet hat, wobei man den Richtungsvektor mit dem Kreuzprodukt der zwei Normalenvektoren bekommen hat.
Habe ich also die beiden Ebenen $\begin{eqnarray*} E_1 = \left \{ x \in \mathbb{R}^3 | <x,h_1> = b_1 \right \}, E_2 = \left \{ x \in \mathbb{R}^3 | <x,h_2> = b_2 \right \} \end{eqnarray*}$ in Hessescher-Normalform, wobei $\begin{eqnarray*} h_1, h_2 \end{eqnarray*}$ natürlich lin. unabhängig sein müssen.
Die Schnittgerade G sieht dann wie folgt aus: $\begin{eqnarray*} G = E_1\cap E_2 = g+span\left ( h_1\times h_2 \right ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ . Also g als Stützvektor der Schnittgerade und der Span des Kreuzprodukts der beiden Normalenvektoren als Richtungsvektor.
Jetzt meine Frage: Ich verstehe nicht warum sich der Richtungsvektor der Schnittgerade aus dem Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren berechnen lässt. In der Schule hat man das immer so hingenommen, jetzt würde ich es gerne hinterfragen.

Meine Ideen:
Das einzige was natürlich offenscihtlich ist, dass der Span nicht der Nullraum ist, also das $\begin{eqnarray*} span\left ( h_1\times h_2 \right )\neq 0 \end{eqnarray*}$ , per Definition, bzw. da gilt: $\begin{eqnarray*} h_1, h_2 \end{eqnarray*}$ lin. unab. => $\begin{eqnarray*} h_1\times h_2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Für eine kleine Anschauung, einen kleinen Beweis oder einen Kommentar wäre ich sehr dankbar!
MFG

01.06.2021, 12:25

klauss

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen Herleitung

Zitat:

Ich verstehe nicht warum sich der Richtungsvektor der Schnittgerade aus dem Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren berechnen lässt.

Hierzu kurz ein Satz:
Da die Schnittgerade naturgemäß in beiden Ebenen zugleich liegt, müssen zwangsläufig beide Normalenvektoren zugleich orthogonal zu dieser sein.
Genügt dies bereits zur Vorstellung?
Ansonsten lasse ich die Aufgabe aus Zeitgründen für Andere offen.

01.06.2021, 12:46

Rillodos

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Für die Intuition hat es schon etwas mehr geholfen, allerdings wäre ich noch dankbar für weitere Rückmeldungen, Bemerkungen, etc.
Trotzdem vielen Dank schonmal, dies war mir natürlich bewusst (das mit der Schnittgerade liegt zugleich in beiden Ebenen), habe ich allerdings nicht berücksichtigt.
Außerdem haben wir in der Vorlesung nicht definiert, was das Kreuzprodukt mit Orthogonalität zu tun hat. Kreuzprodukt wurde vor Kurzem nur mit der Rechenregel eingeführt.

LG

01.06.2021, 15:46

mYthos

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Zu deiner Frage gibt es nicht allzu viele weitere Erläuterungen, als das, was hier schon geschrieben wurde.
Dass die Ebenen in Hesse'scher Normalform vorliegen müssen, ist nicht Bedingung, solange es sich nicht um eine Maßaufgabe handelt (z.B. Abstände etc.).

Zur Schnittgeraden kommt man auch mittels Auflösung des Systems der beiden Ebenengleichungen und Einführung eines Parameters.

mY+

01.06.2021, 17:03

Rillodos

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Das mit dem Auflösen des Gleichungssystems der beiden Ebenengleichungen ist tatsächlich nochmal hilfreich. Hab mir auch einige weitere Artikel durchgelesen und Anschauungen in Form von Zeichnungen angeschaut und nun ist es klar. Vielen Dank!

LG

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