Umkehrabbildung und Mehrdimensionale Kettenregel

01.06.2021, 18:38	Mathudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrabbildung und Mehrdimensionale Kettenregel Meine Frage: Ich benötige die Lösung zu Angehangener Aufgabe bitte. Ich habe mich umgefragt und die gleiche Frage in andere Foren gestellt, jedoch hat mir keiner wirklich geholfen. Ich hoffe ihr wisst mehr! Mit freundlichen Grüßen! Meine Ideen: Ich weiss das ich die Mehrdimensionale Kettenregel und den lokalen Umkehrsatz anwenden soll, jedoch weiss ich nicht wie ich das bei der Aufgabe mache, weshalb ich die Lösung benötige, um ein Beispiel vor Augen zu haben um weitere Aufben dieses Typs lösen zu können.
01.06.2021, 20:52	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu i). Die Jacobimatrix von $\begin{eqnarray} \mathbf g \end{eqnarray}$ ist zu bestimmen. Danach kurz prüfen, ob jede Komponente der Matrix eine stetige Funktion ist. Dann prüfen, ob $\begin{eqnarray} \det(D\mathbf g(\mathbf a))\ne 0 \end{eqnarray}$ gilt, dann ist $\begin{eqnarray} \mathbf g \end{eqnarray}$ nach dem lokalen Umkehrsatz in einer Umgebung von $\begin{eqnarray} \mathbf a \end{eqnarray}$ bijektiv. Zu ii). Es gilt $\begin{eqnarray} \operatorname{id} = \mathbf g\circ\mathbf g^{-1} \end{eqnarray}$ , sofern wie zuvor die Umstände am betrachteten Punkt erfüllt sind. Gemäß der Kettenregel ist demzufolge $\begin{eqnarray} E = D(\mathbf g\circ\mathbf g^{-1})(\mathbf p) = D\mathbf g(\mathbf g^{-1}(\mathbf p))\cdot D(\mathbf g^{-1})(\mathbf p) \end{eqnarray}$ am Punkt $\begin{eqnarray} \mathbf p=(2,0) \end{eqnarray}$ . Soll sagen, die Einheitsmatrix auf der linken Seite ist das Produkt der Matrizenmultiplikation auf der rechten Seite. Durch Umstellen der Gleichung gelangt man zu $\begin{eqnarray} D(\mathbf g^{-1})(\mathbf p) = (D\mathbf g(\mathbf g^{-1}(\mathbf p)))^{-1}. \end{eqnarray}$ Und nun noch einmal die Kettenregel auf $\begin{eqnarray} \mathbf h\circ\mathbf g^{-1} \end{eqnarray}$ anwenden. Das macht $\begin{eqnarray} D(\mathbf h\circ\mathbf g^{-1})(\mathbf p) = D\mathbf h(\mathbf g^{-1}(\mathbf p))\cdot D(\mathbf g^{-1})(\mathbf p) = D\mathbf h(\mathbf g^{-1}(\mathbf p))\cdot (D\mathbf g(\mathbf g^{-1}(\mathbf p)))^{-1}. \end{eqnarray}$ Das ist das Produkt der Matrix $\begin{eqnarray} D\mathbf h \end{eqnarray}$ und der inversen Matrix von $\begin{eqnarray} D\mathbf g \end{eqnarray}$ , jeweils an der Stelle $\begin{eqnarray} \mathbf g^{-1}(\mathbf p) \end{eqnarray}$ . Zuvor kurz prüfen, ob die Komponenten von $\begin{eqnarray} D\mathbf h \end{eqnarray}$ stetige Funktionen sind, dann ist $\begin{eqnarray} \mathbf h \end{eqnarray}$ erst recht total differenzierbar. Eine zwei-mal-zwei-Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kannst du invertieren gemäß $\begin{eqnarray} A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12}\\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »