Stetigkeit und Kompaktheit

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Sakthy00 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit und Kompaktheit
Meine Frage:
Guten Tag zusammen,
ich bekomme irgendwie folgende Aufgabe nicht gelöst, ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.

Sei (X,d) ein metrischer Raum, M Teilmenge von X und f : M ->R seien stetig. Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften:
1. Wenn M kompakt ist, so folgt aus für jedes x Element von M : f(x) < a, dass sup f(x) < a;
2. Wenn M beliebig ist, so folgt aus für jedes x Element von M : f(x) < a, dass sup f(x) <= a.
Geben Sie ein Beispiel an, für das rechts Gleichheit gilt.


Meine Ideen:
Ich weiß schon mal, dass ich mit dem Satz vom Maximum arbeiten muss, also das gilt:
sup f(x)=f(Xmax). Ich verstehe nur nicht, wie ich zeigen soll das sup f(x)<a gilt.

Ich freue mich über jede hilfreiche Antwort, Danke!
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RE: Stetigkeit und Kompaktheit
wird an einer Stelle angenommen
Sakthy0 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort.
Könntest du mir, das nochmal genauer erläutern, wie ich den 1. Satz damit zeigen kann? Ich stehe da ein bisschen auf dem Schlauch gerade...


Willkommen im Matheboard!
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Viele Grüße
Steffen
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, letzteres nach Voraussetzung und weil
Sakthy0 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
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