Tangentialebene

01.06.2021, 22:50

planey

Tangentialebene

Hallo

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=sin(\sqrt{x^2+y^2}) \end{eqnarray*}$ und man soll alle Punkte P (ungleich dem Ursprung) bestimmen, in denen die Tangentialebene T
parallel zur Ebene E : x+y=z ist.

Meine partiellen Ableitungen 1. Ordnung in (x0,y0) lauten :

$\begin{eqnarray*} f_x=cos(\sqrt{x_0^2+y_0^2}) \cdot \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y=cos(\sqrt{x_0^2+y_0^2}) \cdot \frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}} \end{eqnarray*}$

Aus den Vorfaktoren bzw dem Normalenvektor von E ergibt sich das Gleichungssystem :

$\begin{eqnarray*} cos(\sqrt{x_0^2+y_0^2}) \cdot \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(\sqrt{x_0^2+y_0^2}) \cdot \frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} x_0=y_0 \end{eqnarray*}$ und damit dann $\begin{eqnarray*} cos(\sqrt{2} \cdot x_0)=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ aber diese Gleichung hat ja wegen $\begin{eqnarray*} cos(x) \leq 1 \end{eqnarray*}$ keine Lösung.

Gibt es tatsächlich keine Punkte P, welche die obige Parallelitätsbedingung erfüllen oder habe ich etwas falsch gemacht ?

02.06.2021, 01:49

mYthos

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Da $\begin{eqnarray*} f_z = -1 \end{eqnarray*}$ ist und dies auch mit der z-Koordinate des Normalvektors der Ebene korrespondiert*, kommt man damit tatsächlich auf die von dir angegebene Beziehung, die keine reelle Lösung hat.
-----------
Kannst du nochmals die Angabe kontrollieren bzw. diese vollständig und im Originaltext schreiben?

(*)
Koeffizientenvergleich der Normalvektoren der allg. Tangentialebene $\begin{eqnarray*} z-z_0 = f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) \cdot (y-y_0) \end{eqnarray*}$ und der Ebene $\begin{eqnarray*} z = x + y \end{eqnarray*}$

mY+

02.06.2021, 07:35

planey

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Danke für die Kontrolle.

Zitat:

Kannst du nochmals die Angabe kontrollieren bzw. diese vollständig und im Originaltext schreiben?

Ja, ich füge es eben an.

03.06.2021, 19:24

mYthos

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Also dürfte dies stimmen, was wir bisher erkannt haben.
Die gesuchten Punkte sind schon in R3 auszumachen (also auch mit z), obgleich (x, y) aus R2 stammen ...
(Die Tangentialebene ist ein 3-dimensionales Gebilde)

mY+

03.06.2021, 19:54

Huggy

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Im Prinzip müsste man noch den Punkt $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ mit einer Grenzwertbetrachtung untersuchen. Diese ergibt aber, dass die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ dort nicht stetig sind, sodass $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ dort gar keine wohldefinierte Tangentialebene besitzt.

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