Gradienten von Normen

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02.06.2021, 18:28	Sakthy0	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradienten von Normen Meine Frage: Guten Tag zusammen, kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen? Ich soll von der folgenden Funktion den Gradienten berechnen. Wie mache ich das? g(x) = <M x, x> wobei M eine symmetrische n x n Matrix ist und <·, ·> das Euklidische Skalarprodukt. Was wäre grad g(x)? Vielen Dank schon mal. Meine Ideen: Ich weiß nicht genau wie ich das lösen soll. Handelt es sich hierbei um einen euklidischen Vektorraum? Wenn ja wie arbeite ich damit
02.06.2021, 21:01	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten von Normen Nutze die Definition des Skalarproduktes und der Matrixmultiplikation und schreibe g als Summe
02.06.2021, 21:29	Sakthy0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten von Normen Danke für deine Antwort! $\begin{eqnarray} {\displaystyle c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}} \end{eqnarray}$ -> Matrixmultiplikation $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} x_{i}y_{i} \end{eqnarray}$ -> Skalarprodukt Soll ich die beiden Definition dann addieren? Damit hätte ich dann g(x) oder? Danach den Gradient darauf anwenden. Oder verstehe ich das falsch. Sind meine Definitionen überhaupt richtig.
02.06.2021, 21:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten von Normen Addieren sicher nicht, beide kombinieren ist richtig. Im Übrigen hast du Matrix Mal Vektor, also als Ergebnis einen Vektor, entsprechend muss das c aussehen
02.06.2021, 21:49	Sakthy0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten von Normen Ok, wie kombiniere ich die beiden denn? mit einer Multiplikation? Ich verstehe nicht, inwiefern das Skalarprodukt mit der Matrix zusammenhängt. Könntest du noch ein paar mehr Tipps geben. Das ist wirklich hilfreich. Ich glaube, dass ich das dann verstehen würde.
02.06.2021, 22:06	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten von Normen Du hast die Formel für das Skalarprodukt. Der erste Faktor ist in diesem Fall das Matrixprodukt. Also musst du an der Stelle die passende Formel für das Matrixprodukt einsetzen
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02.06.2021, 22:21	Sakthy0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten von Normen Alles klar. Stimmt das so? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{I,j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}x_{i}=g(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} grad(x)=del/delx_{j}\sum\limits_{I,j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}x_{i}=g(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{I,j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}1=g(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{I,j=1}^{n} ab_{jk}1=g(x) \end{eqnarray}$ weil i=j=1
02.06.2021, 22:27	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten von Normen Nein. Ich sagte doch, Matrix mal Vektor, du hast wieder Matrix mal Matrix eingesetzt und was sollenbim Zusammenhang mit g die $\begin{eqnarray} a_{ij} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{jk} \end{eqnarray}$ sein? In der Funktion g steht das x an zwei Stellen, in deiner Summenform taucht es nur einmal auf. Irgendwie komisch, oder? Edit: $\begin{eqnarray} g(x)=\sum_{ij}m_{ij}x_jx_i \end{eqnarray}$
02.06.2021, 22:59	Sakthy0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten von Normen [attach]53141[/attach] Ich hab folgendes im Internet gefunden. Ist dies vom Prinzip her, das was hier gefragt ist?
02.06.2021, 23:04	Sakthy0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten von Normen Danke!
02.06.2021, 23:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten von Normen Das ist der Fall Matrix Mal Vektor, also eine vektorwertige Funktion. Dafür ist kein Gradient definiert, den gibt es nur für skakarwertige, typischerweise reelleertige, Funktionen. Die Darstellung von g habe ich ich meinem vorigen Post ergänzt.

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