Varianz zusammengesetzter Verteilungen

03.06.2021, 10:01

Daniel_007

Varianz zusammengesetzter Verteilungen

Meine Frage:
Hi,
Ich würde gerne die Varianz der folgenden Verteilung berechnen: $\begin{eqnarray*} P:=\frac{1}{3} \cdot \mathcal{U}_{\left\{ 1,...,6\right\}}+ \frac{2}{3}\mathcal{U}_{\left[2,4\right]} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Da $\begin{eqnarray*} \text{Var}(X)=\mathcal{E}(P^2)+(\mathcal{E}(P))^2 \end{eqnarray*}$ gilt, kann ich zuerst den Erwartungswert berechnen und ihn quadrieren (das passt, damit hab ich keine Probleme), jedoch kommt dann der Part $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}(P^2) \end{eqnarray*}$ . Ich würde hier folgendermaßen vorgehen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} \cdot (1+4+9+16+25+36)+frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{2}^{4} x^2 dx \end{eqnarray*}$ . Passt das so? Bzw. warum kann ich nicht einfach $\begin{eqnarray*} Var(P)=\frac{1}{9}Var(\mathcal{U}_{\left\{ 1,...,6\right\}})+\frac{4}{9}Var(\mathcal{U}_{\left[2,4\right] }) \end{eqnarray*}$ rechnen? Ich weiß, das gilt nur bei Unabhängigkeit, aber warum darf ich hier nicht grundsätzlich von Unabhängigkeit ausgehen?
Danke schon mal!

03.06.2021, 10:03

Daniel_007

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Sorry, es gilt natürlich $\begin{eqnarray*} Var(P)=\mathbb{E}(P^2)-(\mathbb{E}(P))^2 \end{eqnarray*}$ .

03.06.2021, 11:43

Huggy

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RE: Varianz zusammengesetzter Verteilungen

Zitat:

Original von Daniel_007
aber warum darf ich hier nicht grundsätzlich von Unabhängigkeit ausgehen?

Das geht nicht, weil dein $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ nicht als Summe zweier Zufallsgrößen definiert ist. Seine Verteilung ist definiert als die Mischung zweier Verteilungen. Aber weder

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot \mathcal{U}_{\left\{ 1,...,6\right\}} \end{eqnarray*}$

noch

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\mathcal{U}_{\left[2,4\right]} \end{eqnarray*}$

sind Verteilungen von Zufallsgrößen. Ihre Gesamtwahrscheinlichkeiten sind ja nur $\begin{eqnarray*} \frac 1 3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac 2 3 \end{eqnarray*}$ .

03.06.2021, 14:18

Daniel_007

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Ok danke! Könnte ich dann aber rechnen VarP= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} Var(\mathcal{U}_{\left{1,...,6\right}})+\frac{2}{3}Var(\mathcal{U}_{\left[2,4]\left]}) \end{eqnarray*}$ ? Weil sich diese Verteilung dann ja zu Teilen 2/3 bzw. 1/3 aus den Varianzen der "einzelnen" Verteilungen zusammensetzen müsste?

03.06.2021, 14:30

Daniel_007

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Oh Mann, sorry, ich komm mit dem Latex Editor noch nicht ganz klar. Also noch einmal: $\begin{eqnarray*} Var(P)=\frac{1}{3}\cdot Var(\mathcal{U}_{\{1,...,6\}})+\frac{2}{3}\cdot Var(\mathcal{U}_{[2,4]}) \end{eqnarray*}$ .
Ok, ich verstehe, dass ich eine Mischung von Verteilungen habe, aber es gilt ja: $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X=\mathbb{E}\mathcal{B}_{1,p} \end{eqnarray*}$ , falls X z.B. Bernoulli-verteilt. Ich könnte dann ja sagen, ich definiere eine Zufallsvariable Z folgendermaßen: $\begin{eqnarray*} Z:=\frac{1}{3}X+\frac{2}{3}Y \end{eqnarray*}$ , wobei X $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}_{\{1,...,6\}} \end{eqnarray*}$ -verteilt und Y $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}_{[2,4]} \end{eqnarray*}$ -verteilt. Dann müsste ich, sofern X und Y unabhängig sind, die Varianz von Z ja wie in meiner Anfangsfrage beschrieben berechnen können, weil ich dann ja die Summe aus 2 Zufallsvariablen (mit Vorfaktoren, die quadriert herausgehoben werden könnten) habe? Aber dann würde das ja verschiedene Ergebnisse herausbekommen?

03.06.2021, 16:35

Huggy

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Deine Variablen $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ haben nicht dieselbe Verteilung. $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ kann maximal den Wert $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ annehmen. $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ kann dagegen maximal nur den Wert

$\begin{eqnarray*} \frac 1 3 \cdot 6 + \frac 2 3 \cdot 4 = \frac {14} 3 \end{eqnarray*}$

annehmen.

03.06.2021, 19:16

Daniel_007

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Danke für deine Antwort und deine Geduld Huggy! Kannst du mir bitte erklären, wie du auf 6 kommst? Ich würde auch bei $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{14}{3} \end{eqnarray*}$ als Maximalwert kommen.

03.06.2021, 19:48

Huggy

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Du hast doch $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ über seine Verteilungsfunktion definiert und zwar als Summe von zwei Teilfunktionen. Der erste Summand

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot \mathcal{U}_{\left\{ 1,...,6\right\}} \end{eqnarray*}$

liefert für die Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} P=6 \end{eqnarray*}$ einen Beitrag

$\begin{eqnarray*} \frac 1 3 \frac 1 6 = \frac 1 {18} \end{eqnarray*}$

Der zweite Summand

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\mathcal{U}_{\left[2,4\right]} \end{eqnarray*}$

liefert für $\begin{eqnarray*} P=6 \end{eqnarray*}$ keinen Beitrag. Dieser Summand ist ja für $\begin{eqnarray*} P>4 \end{eqnarray*}$ gleich Null. Und als anteilige Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße liefert er eh nur für Intervalle einen Beitrag, nicht aber für einzelne Punkte. Insgesamt gilt also

$\begin{eqnarray*} W(P=6)=\frac 1 {18} \end{eqnarray*}$

Dabei steht W für Wahrscheinlichkeit, weil du die übliche Bezeichnung P dafür schon für deine Zufallsgröße verbraucht hast.

Du musst dir einfach mal klar machen, dass die Mischung von Verteilungsfunktionen und die Addition von Zufallsgrößen völlig unterschiedliche Sachen sind.

04.06.2021, 09:03

Daniel_007

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Vielen Dank Huggy, ich hab mir jetzt eine Skizze angefertigt und jetzt ist alles klar! Danke

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