Uneigentliches Integral

03.06.2021, 11:52	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliches Integral Hallo! Es gilt zu zeigen $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{n} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ existiert und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} f(x) =0 \end{eqnarray}$ dass dannn auch $\begin{eqnarray} \int_{a}^{\infty} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ existiert Meine Idee wäre über das Cauchy Kriterium zu gehen. also $\begin{eqnarray} \int_{a}^{\infty} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ existiert genau dann, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ ein B>0 gibt, sodass $\begin{eqnarray} \| \int_{b}^{c} \! f(x) \, dx \|<\epsilon \end{eqnarray}$ für alle c>b>B aber wie genau ist mir noch unklar.
03.06.2021, 12:15	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: uneigentliches Integral Hallo, sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ , bestimme dazu B, so dass für $\begin{eqnarray} x>B \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \|f(x)\|<\epsilon \end{eqnarray}$ . Wenn dann $\begin{eqnarray} B<b<c \end{eqnarray}$ gegeben ist, seien n und m die jeweils nächstgrößeren natürlichen Zahlen zu b und c. Dann kannst Du abschätzen: $\begin{eqnarray} \int_b^c\|f(x)\|dx \leq \int_m^n\|f(x)\|dx+\int_b^m\|f(x)\|dx +\int_c^n\|f(x)\|dx \end{eqnarray}$ Die beiden letzten Integrale kannst Du mit den gesetzten Angaben abschätzen. Das erste bekommst Du "klein", weil $\begin{eqnarray} \int_a^n ... \end{eqnarray}$ konvergiert - das liefert eine 2. Anforderung an B. Gruß pwm

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »