Vektoriteration (von Mises-Verfahren)

03.06.2021, 14:59	Ken_	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoriteration (von Mises-Verfahren) Ich schaue mir gerade das von Mises-Verfahren an. Zuerst kurz was ich weiss: - ich habe eine Matrix A mit n verschiedenen Eigenwerten - es gilt die Iteration $\begin{eqnarray} x^{(i)} = A^i x^{(0)} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x^{(i+1)}=A x^{(i)} \end{eqnarray}$ Für grosse i gilt dann $\begin{eqnarray} A x^{(i)}\approx \lambda_m x^{(i)} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \lambda_m \end{eqnarray}$ der dominate Eigenwert ist. Das Beispiel im Skript verstehe ich und es funktioniert. Nun habe ich selber ein Beispiel konstruiert: $\begin{eqnarray} A = \left( \begin{array}{rrr} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0.5 \\0 & 2 & 1 \\ \end{array}\right) \end{eqnarray}$ A hat die Eigenwerte 3, 0 und 2 - das Verfahren sollte also funktionieren. Ich berechne für $\begin{eqnarray} x^{(0)} = \left(\begin{array}{c} 0.5\\2\\-1\\ \end{array}\right) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} L^{12} x^{(0)} = \left(\begin{array}{c} 962021\\3072\\6144\\ \end{array}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L^{11} x^{(0)} = \left(\begin{array}{c} 318626\\1536\\3072\\ \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Und dann: $\begin{eqnarray} \frac{L^{12} x^{(0)}}{L^{11} x^{(0)}} = \left(\begin{array}{c} 3.02\\2\\2\\ \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Meine Frage: Warum enthält dieser letzte Vektor zweimal eine Approximation des zweitgrössten Eigenwerts und nicht dreimal eine Approximation des grössten, wie es im Beispiel des Skriptes der Fall war? Danke vielmals für eine Antwort, ich blicke hier gerade nicht mehr durch.
03.06.2021, 17:40	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoriteration (von Mises-Verfahren) Wenn ich das hier https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzmethode beschriebene Verfahren in ein Mathematicaprogramm umsetze, konvergiert der Vektor gegen $\begin{eqnarray} (1,0,0) \end{eqnarray}$ und das ist der Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ . [attach]53145[/attach]
03.06.2021, 17:54	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
~~@Ken: Der Fehler deiner Berechnung dürfte an der fehlenden Normierung liegen.~~ EDIT: Einwand zurückgezogen. Die Norm beeinflußt nicht das Verhältnis der Ergebnisse, sondern nur die Länge des berechneten Vektors.
03.06.2021, 20:53	Ken_	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank für die Antworten. Das Verfahren funktioniert im vorliegenden Fall tatsächlich: $\begin{eqnarray} A^i x^{(0)} \end{eqnarray}$ konvergiert gegen einen Eigenvektor rel. zum dominanten Eigenwert. Normierung ist m.E. aber nicht wirklich notwendig, jedoch empfohlen, damit die Werte nicht zu gross werden. Im Code von Huggy wird am Schluss der Rayleigh-Quotient berechnet, woraus eine Approximation des dominanten Eigenwerts folgt. Für mich bleibt die Frage: Warum sind zweite und dritte Komponente von $\begin{eqnarray} <br /> \frac{L^{12} x^{(0)}}{L^{11} x^{(0)}} = \left(\begin{array}{c} 3.02\\2\\2\\ \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray}$ 2 (zweitgrösster EW) und nicht in der Nähe von 3 (dominater EW)? Sollten wegen $\begin{eqnarray} <br /> A x^{(i)}\approx \lambda_m x^{(i)}<br /> \end{eqnarray}$ nicht alle Komponenten in der Nähe von 3 sein? Wahrscheinlich hat es mit den Nullen im Eigenvektor $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c} 1\\0\\0\\ \end{array}\right) \end{eqnarray}$ zu tun, denn damit ist die von mir durchgeführte Division im Prinzip eine Division durch 0. Ist es Zufall, dass hier gerade der zweitgrösste EW (also 2) rausspringt? Kann es sein, dass es irgendwas mit der Konvergenzgeschwindigkeit zu tun hat?
04.06.2021, 16:14	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
v. Mises Bei der benutzten Matrix handelt es sich um eine nichtsymmmetrische Matrix. Deshalb sind die zu findenden Eigenvektoren nicht zueinander orthogonal. Vgl. hierzu die Ausführungen in http://www.tm-mathe.de/Themen/html/rayleigh-quotient.html unter dem Punkt "Für nichtsymmetrische Matrizen ist der Rayleigh-Quotient bei der von-Mises-Iteration durch ..." etc. und benutze dieses dort beschriebene Verfahren

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